Полиномы дробной степени

Sledge

Господа (и дамы кто-нибудь сталкивался с полиномами дробной степени? Интересны теория и приложения, что почитать, изучает ли их кто-нибудь в МГУ (да даже и не обязательно в МГУ - вообще в Рассее) и прочая информация. Ну, а уж если кто про полиномы Лагерра дробной степени нормально объяснить сможет - я просто счастлив буду)

Irina_Afanaseva

полином дробной степени
это когда в полиноме P(x) делаешь замену х=(корень степени n от y)

Sledge

Не обязательно. Я видел маленькую статеечку, там медицинские данные интерполировали полиномом дробной степени. Так вот, степени там были выбраны совершенно произвольно, что-то типа -0.5, 0, 1, 1.5. Так что волюнтаризма в данной области хватает.

Sledge

Спасибо, но мне кажется, серии Пузикса - это не совсем то....хотя бы потому, что это ряды, а не многочлены

Vlad128

совершенно произвольно, что-то типа -0.5, 0, 1, 1.5
степени рациональные? тогда можно найти НОД, сделать замену и привести к виду, о котором написал.

BSCurt

Пюизё!(ну или Пюизо) А во вторых, многочлен это частный случай ряда. Собственно ряды Пюизо возникают во всяких проблемах аналитического продолжения (когда функция имеет ветвление) в ТФКП.

Sledge

to Unkulunku
точно-точно, хорошее замечание, я как-то не подумал)
to Nameless One
Пузикс прикольнее) Меня скорее интересует аппроксимация функций многочленами дробной степени, нежели аналитич продолжения.

Sledge

и по поводу того, что полином - частный случай ряда... Это все равно, что сказать, что конечное множество - частный случай бесконечного. Ряд нельзя вычислить в точке точно, а полином можно (если считать, что мы работаем в точной арифметике). Так что с полиномами работать как-то полегче, чем с рядами.

Vlad128

Ряд нельзя вычислить в точке точно
:confused: что это значит-то? корень из двух можно точно вычислить?

Sledge

to Unkulunku
Корень из двух - это иррациональное число, не представимое в виде конечной десятичной дроби. Следовательно, его можно вычислить только с некоторой точностью
(т.е. точно вычислить сколько-то цифр после запятой но не абсолютно точно. Или мы о разных вещах говорим?
Точно так же и с рядом - число слагаемых бесконечно, следовательно, когда мы его вычисляем в точке (по-простому - на компутере, я не беру в расчет простые ряды из учебника, которые можно суммировать аналитически тем или иным способом мы всегда берем конечное число слагаемых, хвост отбрасываем. И опять-таки - сумма ряда оказывается вычисленной точно до какого-то (скажем, до девятого) знака после запятой. За остальные цифры мы поручиться не можем. Это я еще ошибку округления не учитываю.

Sledge

to Nameless_One
Спасибо за ссылку. Получается, что это очень молодая тема - ряды Фурье дробной степени появились только в 2007м и, чувствуется, теория не очень развита еще. В этой же статье есть ссылка на заметку про fractonal calculus
http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus
-там побольше всякого. Получается, от вычисления дробных производных никуда не убежишь, а это вещь весьма геморройная - сейчас как раз этим занимаюсь

Vlad128

Точно так же и с рядом
ну вот поэтому я и написал про корень из двух... Расскажите, с какого вы факультета и курса, это не переход на личности, просто действительно надо понимать, в каком контексте мы находимся и стоит ли пытаться голову на место вставить и как.
У вас как-то все вокруг вычисления построено, а в математике как бэ не все вычисляют. В математике не все понятия конструктивны, нам не обязательно уметь все считать "точно". Например, нам не надо знать все знаки корня из двух, чтобы суметь возвести его в квадрат, мы знаем, что получится в точности два. И еще кучу его свойств знаем. То же и с числом пи и синусом от него.
Но если хотите, то можно и так: корень из двух и ряд можно вычислить с любой заданной точностью, хотите до 100 знаков — можно, хотите до 1000000, можно, до 100000000000000, пожалуйста и т.д. "Ошибки округления" все можно учесть. Не хватает стандартных типов — напишите длинную арифметику, нет проблем.

Sledge

давайте, давайте,ставьте мне голову на место)
Я сотрудник ВМК, а вы явно с мехмата) да, не все понятия конструктивны, но когда доходит дело до конкретных моделей, конкретных комп. программ - все приходится вычислять, спускаться из гильбертовых пространств на грешную землю)
>>не обязательно уметь все считать "точно".
все - не надо, но кое-что очень хотелось бы. Допустим - у меня есть численный метод решения уравнения Пуассона. Проверяю его на модельной задаче. Решение модельной задачи получаем с помощью разделения переменных, оно выписывается в виде ряда. Вопрос - как сравнивать численное решение и аналитическое, если само аналитич нельзя вычислить абсолютно точно? Сколько членов ряда брать, чтобы вычислить аналит. решение с нужной точностью? Плюс еще замечательные эффекты типа Гиббса - когда добавляешь члены ряда и с какого-то момента все начинает дико осциллировать.
>> нам не надо знать все знаки корня из двух, чтобы суметь возвести его в квадрат
непонятно, зачем сначала извлекать корень, а потом возводить обратно в квадрат. Если у меня площадь треугольника получилась sqrt(2) - наверно, придется вычислить корень из двух

Sledge

далее - не всегда заранее известно, какая точность вычислений нужна. Недавно общался с пареньком, который исследовал динамическую систему, чувствительную к начальным данным. Он допустил ошибку в 7м знаке после запятой в этих самых начальных данных и никак не мог выйти на цикл
>> "Ошибки округления" все можно учесть.
кхммм... вот прям всегда-всегда? я знаю немеренно алгоритмов для решения СЛАУ (крыловские методы, мультигриды и т.д. но найти анализ ошибки округления для этих алгоритмов - целое дело. Потому что это дико геморройное занятие. Насколько мне известно, хорошо исследованы в конечной арифметике только метод Гаусса (Уилкинсон стал легендой благодаря работам в этом направлении) и метод сопряженных градиентов. И если вам дают произвольную матрицу вы никогда не сможете сказать заранее, за сколько итераций сойдется метод - слишком много разных факторов (спектр матрицы и др свойства) плюс ошибка округления.
Добавлю, что многие исследователи считают ошибку округления стохастической и даже пытаются строить вероятностное распределение. Так что учесть ее практически невозможно
 

Sledge

напишите длинную арифметику, нет проблем
ну да, мы так и делаем - не хватает точности - пишем новую арифметику, чик-чик - и готово только вот проблемка в том, что эмулируемые арифметики тормозят сильно.
Пороюсь в записях, запостю еще ссылки на статьи а-ля "десять методов вычисления квадратного корня". Причем оказывается, что все эти методы неустойчивы и всегда найдутся входные данные, на которых получится ерунда.

griz_a

Понимаете, ваш исходный вопрос вызывает естественное отторжение, все равно, что вы спросили бы - кто-нибудь сталкивался с [math]$\pi^{7}/11$[/math].
Все зависит от того, что вам с ними надо делать.
Если функции аппроксимировать, то вам направления рядами Пюизо задали. Вы же не смущаетесь функции частичными суммами ряда Тейлора аппроксимировать.
А, скажем, для МНК оценок вообще неважно, целые степени у полиномов или нет. Вопрос только в том естественно ли вам с физической стороны модели использовать такие полиномы или нет.

Vlad128

Я сотрудник ВМК, а вы явно с мехмата)
:net:
вы бы сразу и сказали, что вас вычислительный аспект интересует, это же не понятно было до этого сообщения.

sashok01

кстати, а расскажите пожалуйста для нубов, чем ряды Пюизо лучше/хуже рядов Тейлора?

seregaohota

степень приближения очевидно вообще говоря лучше, по крайней мере для некоторых функций, так как Тейлора частный случай

BSCurt

Хуже тем что ветвятся, лучше тем что ветвятся, вроде б основная теорема про них - это
Теорема ньютона-пюизо
о то что алгебраическое уравнение F(X,Y)=0 имеет решение в некоторой окрестности точки X_0 в виде (X,T(X где T(X) - ряд пюизо по X.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: