[урчп]краевая задача

ilnar-terror

Пусть [math]$u(x,t) \in C^2(Q) \bigcap C^1(\overline Q)$[/math] - классическое решение в [math]$Q=Q_{(0,1)}^{\infty}$[/math] краевой задачи [math]$u_t=u_{xx}+3u$[/math], [math]$u(0,t)=u(1,t)=0.$[/math] Доказать, что для [math]$u(x,t)$[/math] имеет место неравенство [math]$|u(x,t)| \leqslant Ce^{-6t}, C=const>0$[/math]. Помогите разобраться...

lenmas

Напиши общее решение из метода Фурье, и будет тебе счастье.

ilnar-terror

Решение нашёл, не могу доказать сходимость ряда [math]$\sum\limits_{n=1}^{\infty} |c_n|.$[/math].

lenmas

А что такое c_n?

ilnar-terror

Решение получилось такое: [math]$u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_ne^{(- \pi^2 n^2+3)t}sin(\pi nx).$[/math] С_n - это коэффициенты Фурье.

lenmas

Ну и все. Раз коэффициенты хотя бы непрерывной функции, то должны быть ограничены. Отщипываешь от Pi^2-3 небольшой кусочек, чтобы 6 осталось, а весь остальной ряд (для t>t_0) суммируешь в С. Если хочешь для всех t>0, то нужно потребовать от начальной функции кроме непрерывности еще какую-нибудь непрерывную дифференцируемость на отрезке [0,1].
P.S. Хотя при 0<t<t_0 можно и без непрерывной дифференцируемости обойтись, так как u(t,x) в любом случае непрерывна на прямоугольнике :grin:

afony

Доказательство сходимости ряда из модулей коэффициентов ряда Фурье для функции с интегрируемым квадратом производной можно найти в книге Бари "Тригонометрические ряды" на стр. 92 (см., например, ).

ilnar-terror

То есть я делаю так: оцениваю синус единицей, [math]$e^{-6t}$[/math] выношу за знак суммы и остаётся ряд из модулей c_n. Дальше можно сослаться на указанную теорему о сходимости ряда? И ещё вопрос - есть ли какой-нибудь другой подход к задаче(без метода Фурье)?

afony

Решение, по-моему, правильное и достаточно простое. На указанную теорему можно ссылаться, так как решение предполагается непрерывно дифференцируемым.

lenmas

То есть я делаю так: оцениваю синус единицей, [math]$e^{-6t}$[/math] выношу за знак суммы и остаётся ряд из модулей c_n.
Да, только там при коэффициентах остается еще довесок с экспонентой, который обеспечивает сходимость при t>t_0. А при t<t_0 существование С вытекает из непрерывности решения по совокупности переменных.
Ну, а можешь и сослаться на теорему из Бари, если надо для начальной функции из упомянутого выше соболевского класса функций с интегрируемой в квадрате производной. Тогда константа получится явной (сумма абсолютных величин коэффициентов начальной функции или через интеграл от квадрата производной начальной функции выражающаяся а 6 в экспоненте можно будет улучшить до Pi^2-3.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: