школьные задачки

denis24

помогите советом, плиз. Никак сам сообразить не могу. Нужно посчитать, чему равна дробь
1. {(2+3)*(2^2 + 3^2}*(2^4 + 3^4)*...*(2^512 + 3^512) + 2^1024}/3^1024
2. (1+x+xy)^(-1) + (1+y+yz)^(-1) + (1+z+zx)^(-1 если xyz=1

antonata

{(2+3)*(2^2 + 3^2}*(2^4 + 3^4)*...*(2^512 + 3^512) + 2^1024}/3^1024 =
[math]$\frac{(2+3)*(2^2+3^2)*(2^4+3^4)*...*(2^{512} + 3^{512})}{3*3*3^2*3^4*3^8*...*3^{512}} + (2/3)^{1024} =$[/math]
вносим нужную степень тройки из знаменателя под каждую скобку в числителе
[math]$\frac{2/3)+1)*2/3)^2+1)*2/3)^4+1)*...2/3)^{512}+1)}{3} + (2/3)^{1024} =$[/math]
обозначим 2/3 = u
[math]$\frac{(u+1)*(u^2+1)*(u^4+1)*...*(u^{512}+1)}{3} + u^{1024} =$[/math]
раскрываем произведение; подобных слагаемых не будет так как число представляется в двоичной системе счисления единственным образом; из аналогичных соображений будет присутствовать любая степень от нулевой до 1+2+4+...+512=1023
[math]$\frac{1+u+u^2+u^3+....+u^{1023}}{3} + u^{1024} =$[/math]
домножаем числитель и знаменатель на (1-u) и используем формулу скоращенного умножения
[math]$\frac{1-u^{1024}}{3*(1-u)}+u^{1024} = 1$[/math]
так как 3*(1-u) = 3*(1-2/3) = 1.

LipkinKS

в 1. можно первое слагаемое домножить на (3-2) и воспользоваться формулой разности квадратов, ответ получается 1
в 2. можно первую дробь домножить на z, вторую на zx, знаменатель везде получится (1 + z + zx). ответ тоже 1

griz_a

рассказали, хотя совершенно не нужно выносить тройки, просто достаточно раскрыть все скобки и убедиться, что каждый моном этой степени встретится ровно раз.
2. Если заменить во втором слагаемом yz на 1/x, а в третьем z на 1/(xy zx на 1/y, то все сократится.

denis24

круто, спасибо
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: