[ММ, функан] Непрерывные билинейные операторы

soldatiki

Известно, что если имеется билинейный оператор на паре банаховых пространств, то из его непреывности отдельно по каждому агрументу следует непрерывность по совокупности (следствие теоремы Б-Ш).
Если оба пространства неполные, это неверно. Контрпример: в пространстве C[0,1] берем подпространство один раз непрерывно дифференцируемых функций и на нем рассматриваем билинейную функцию, задаваемую для всяких f и g как интеграл от произведения f 'g'. Такая функция непреывна по каждому переменному в топологии C[0,1], но не по совокупности аргументов.
Вопрос: верно ли это, если одно из пространств банахово, а другое - неполное нормированное?

goga7152

Вопрос: верно ли это, если одно из пространств банахово, а другое - неполное нормированное?
Да: нужно рассмотреть семейство R_y: E-->G, где E-Банахово, а y\in неполное нормированное, и применить ту же теорему Б.-Ш..

philnau

Никто не знает примера билинейного оператора/функционала на [math] $D(\mathbb{R}) * D(\mathbb{R})$ [/math], такой что он раздельно-непрерывен, но не непрерывен в совокупности?
(это нужно, чтобы пок-ть, что индуктивная топология на тензорном произведении строго сильнее проективной)

soldatiki

Да было это у Смолянова пару лет назад на спецкурсе. Постараюсь вспомнить или найти в лекциях. Тогда напишу.

soldatiki

На тему билинейного функционала: пусть нам даны две сходящиеся последовательности {fn} и {gn}, то есть, каждая сосредоточена на некотором компакте, где функции сходятся равномерно вместе со всеми производными. Тогда б.о.о.р. можно считать, что дело происходит на некотором отрезке [-N,N]. Но ограничение топологии D(R) на этот отрезок - это топология пространства D[-N,N] гладких финитных функций на отрезке [-N,N]. Но D[-N,N] - метризуемое полное пространство, там можно применить теорему Б-Ш и показать, что значения всякого раздельно непрерывного билиненого ф-ла b(fn,gn) также стремятся к нулю.
Получается, что придумать разрывный по совокупности и непрерывный раздльно билинейный функционал в пространстве D(R) вроде как нельзя. Либо в моих рассуждениях есть ошибка.
В связи с этим общий вопрос: верно ли, что индуктивный предел бочечных пространств может не быть бочечным пространством? Если для D(R) удастся построить указанный пример билинейного ф-ла, то ответ на этот вопрос будет положительным.
И еще тогда уж вопрос: верен ли для направленностей в D(R) тот же критерий сходимости, что и для последовательностей: сосредоточенность на общем компакте и равномерное стремление к нулю всех производных?

philnau

Никакой ошибки я тоже не вижу, всё правильно. Но дело в том, что мне недо док-ть, что такой функционал существует :( Из всего этого можно сделать вывод, что пространство [math]$D(\mathbb{R})*D(\mathbb{R})$ [/math] не является борнологическим, и здесь непрерывность [math]$\phi$[/math] (прообраз открытого открыт) не равносильно секвенциальной непрерывности [math]$\phi$[/math] ([math]  $ x_n\to 0  \Rightarrow \phi(x_n)\to 0$  [/math])
Например, есть даже такая задачка в Кирилове-Гвишиани:

philnau

Контрпример: в пространстве C[0,1] берем подпространство один раз непрерывно дифференцируемых функций и на нем рассматриваем билинейную функцию, задаваемую для всяких f и g как интеграл от произведения f 'g'. Такая функция непреывна по каждому переменному в топологии C[0,1], но не по совокупности аргументов.
Почему есть непр-сть по каждому переменному? Разве нельзя подобрать f так, чтобы она была мала, а её производная очень велика?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: