Предельный переход в математике

resident

Вот наткнулся на книгу:
Зельдович Я.Б. Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников.
В ней излагается матан без теории пределов. Причем в предисловии Зельдович приводит обоснования.
Интересны мнения относительно позиции Зельдовича.

Dallas

А можно вкратце, в чём суть этих обоснований?

resident

основное:
теория пределов - сложный для понимания аппарат. При обучении вполне можно обойтись без него и тогда матан для учащихся станет понятен как стихи Пушкина или проза Толстого.
И еще(немного адаптировано): теорию пределов придумали ленивые математики (видите ли учебники писать с помощью нее удобнее а нам физикам и без пределов хорошо.

resident

кстати, вопрос ламера :
Как корректно вводится степенная функция с иррациональной степенью ?
И еще более тупой вопрос:
У этой функции будут выколоты все рациональные значения ? // не бейте ногами
Или все зависит от того, является ли показатель алгебраическим / трансцендентным числом ?

igor196505

Стихи Пушкина и особено проза Толстого слишком сложны для понимания и довольно объёмны... Легче выучить пределы....

Dallas

Как корректно вводится степенная функция с иррациональной степенью ?
Например, для x>=1 x^y есть точная верхняя грань множества {x^q, q-рационально, q<=y}.
У этой функции будут выколоты все рациональные значения ?
нет
// не бейте ногами
да ладно, живи пока
Или все зависит от того, является ли показатель алгебраическим / трансцендентным числом ?
это вообще не причём

Dallas

Ну физикам точно без пределов не обойтись.
Да и техников, думаю, тоже лучше всё-таки с пределами учить. Они может быть и сложнее для понимания, но зато если всё-таки их понять, то жизнь резко упрощается. А без пределов, думаю, только каша в голове останется (теория будет очень громоздкая и трудная для запоминания).

sidorskys

теория пределов - сложный для понимания аппарат. При обучении вполне можно обойтись без него и тогда матан для учащихся станет понятен как стихи Пушкина
Матан и так был как стихи.

goga7152

теория пределов - сложный для понимания аппарат.
Пишут (см. предисловие Р.Лейтона к книге "КЭД: странная теория света и вещества" что Ричарда Фейнмана в детстве на занятия матанализом вдохновила книга, которая начиналась словами: "То, что может сделать один глупец, может и другой". Боюсь, что если бы ему сначала объяснили, что "теория пределов - сложный для понимания аппарат", то история физики XX века могла бы быть иной — Фейнмановские интегралы носили бы другое имя.
---
"истинное препятствие заключается в самом убеждении, что что-то является трудным"

stm5619710

хм, а как он вводит разрывные функции?

asora

без пределов вообще никакой теории не будет.
будет только свод правил, типа при малых x sin(x) примерно равен x
ЗЫ правда учебник этот я не читал, высказал свой имхо

roza200611

Вот наткнулся на книгу:
Зельдович Я.Б. Яглом И.М. Высшая математика для начинающих экономистов.

resident

Теории пределов нет, но пределы есть
http://www.abitura.com/mathematics/mathan.html

resident

Вот еще про математиков от арнольда
В середине двадцатого века была предпринята попытка разделить математику и физику. Последствия оказались катастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с половиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления ни о каких других науках. Они начали учить своей уродливой схоластической псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников (забыв о предупреждении Харди, что для уродливой математики нет постоянного места под Солнцем).

http://www.abitura.com/mathematics/arnold.html

igor196505

Ну, во-первых, эта статья не совсем по теме данного треда, и, во-вторых, вся статья в большей степени относится к французской школе, а не к математикам в общем... курсы мех-мата здесь больше приводятся в качестве положительных примеров преподавания...
"Ученик французской начальной школы на вопрос "сколько будет 2+3" ответил: "3+2, так как сложение коммутативно". Он не знал, чему равна эта сумма, и даже не понимал, о чем его спрашивают!
Другой французский школьник (на мой взгляд, вполне разумный) определил математику так: "там есть квадрат, но это нужно еще доказать".
По моему преподавательскому опыту во Франции, представление о математике у студентов (вплоть даже до обучающихся математике в Ecole Normale Superieure --- этих явно неглупых, но изуродованных ребят мне жалко больше всего) --- столь же убого, как у этого школьника...
...
Но учить идеалам студентов, никогда не видевших гипоциклоиды, столь же нелепо, как учить складывать дроби детей, никогда не разрезавших (хотя бы мысленно) на равные доли ни яблоко, ни пирог. Неудивительно, что дети предпочтут складывать числитель с числителем и знаменатель со знаменателем.
От моих французских друзей я слышал, что склонность к сверхабстрактным обобщениям является их традиционной национальной чертой. Я не исключаю, что здесь действительно идет речь о наследственной болезни, но все же хотел бы подчеркнуть, что пример с яблоком и пирогом я заимствовал у Пуанкаре..."

vovatroff

Вот еще про математиков от арнольда
А мне очень понравилось, как у Арнольда в одной научно-популярной брошюрке
написано об истории создания анализа. Это тоже в тему.
Суть в том, что Лейбниц вначале неправильно установил правило дифференцирования
произведения. Он полагал, что
d(u+v) = du+dv
d(u*v) = du*dv
(т.е. что d - это гомоморфизм кольца, как поясняет Арнольд). Потом он исправился, потому
что увидел какие-то неприятные следствия из второй формулы.
Но, как считает Арнольд, причина заблуждения Лейбница была глубже.
К примеру, Ньютон бы ни за что подобной ошибки не допустил, потому что был эмпириком.
Он бы для вывода правила дифференцирования произведения рассмотрел прямоугольник со сторонами u, v, придал бы сторонам маленькие приращения du, dv и вычислил бы отсюда приращение площади как сумму площадей двух узких ленточек u*dv + v*du.
А манюсеньким квадратиком площадью du*dv он бы, разумеется, пренебрег.
А вот Лейбниц именно du*dv и принял вначале за ответ, потому что он рассуждал совсем иначе, как схоласт-алгебраист, а не как эмпирик. Это все точка зрения Арнольда, и он явно симпатизирует
здесь именно Ньютону.
Теперь от себя скажу. Мне тоже очень понравилось, как можно "эпмирически" вывести
правило вычисления d(u*v) через рассмотрение прямоугольника. По-моему, не понять этого
простого вывода может только дебил. А вот "традиционное обоснование анализа, требующее предельных переходов и языка Коши, гораздо более изощренное и требует навыка.

spiritmc

> Ну физикам точно без пределов не обойтись.
Наглая ложь.
Если математики не знают математического анализа, то это их
личные трудности, а не повод утверждать, что теория пределов ---
необходима.
---
...Я работаю антинаучным аферистом...
P.S. Все дружными рядами отправляются изучать матан.

Dallas

если нематематиков начать учить нестандартному анализу без стандартного, то у них точно кроме каши в голове ничего не останется

spiritmc

На чём основано это суждение? Ты пробовал?
А я знаю людей, кто так и делал, только без упоминания,
что есть "стандартный", а что --- "нестандартный".
Одна беда, это доцент физфака, которому надо было дать
школьникам дифференциальное и интегральное исчисление,
и чтобы они начали работать здесь и сейчас, а не через
два месяца.
Кстати, а при классическом мат. анализе, у студентов-математиков
каши в голове не остаётся? Если полистать учебники, то нетрудно
увидеть, что кто-то говорит про дедекиндовы сечения, кто-то их
упоминает вскользь, если вообще упоминает.
А кто-то вообще --- начинает с топологических определений,
постепенно их конкретизируя. Видимо, для того, чтобы сразу
подавить волю студента к сопротивлению.
Ты просто безграмотен в общенаучном смысле, как и большинство
таких же математиков. Мало того, что ты не знаешь собственной
науки, ты не имеешь представления, что происходит вокруг, но
ещё и делаешь ничем не обоснованные _опасные_ заявления.
Теории и уж тем более _рабочие_ теории, которые предназначены
для образования, должны строиться так, чтобы простые, наиболее
часто встречаемые задачи решались просто. В физике так и делают:
очень мало кто работает с тепловыми машинами, потому что метод
потенциалов проще, хотя и привлекает очень малоочевидные
физические величины, очень мало кто работает с гейзенберговыми
матрицами, хотя этот метод появился раньше работы Шрёдингера
и полностью равносилен последнему.
И когда дело доходит до матанализа --- подавляющее большинство
работает в рамках понятий "O(N)---o(x)", так удобнее, и поэтому
им безразлично, по большому счёту, что лежит ниже: то убожество
из классов каким-то особым образом эквивалентных
последовательностей, дедекиндовы сечения или сразу
гипердействительные числа.
Когда дело доходит до решения боевых задач, _все_, даже, блин,
математики, начинают с конечных приращений, а потом переходят к
бесконечно малым величинам. _И_только_математики_ под бесконечно
малыми величинами понимают искуственную конструкцию из множества
фундаментальных последовательностей.
"Потому что так завещал великий и мудрый OC,
и по-другому делать некошерно."
---
"Математик может говорить, что ему хочется,
но физик должен, хотя бы в какой-то мере, быть в здравом рассудке."

Sergey79

давай только не будем приплетать _физику_ при попытке доказать (успешной что инженерам и экономистам нормальная теория не нужна

Dallas

В твоих постах кроме наездов и дешёвых понтов ничего пока не заметно.
Чтобы понять нестандартный матанализ на строгом уровне, нужно по крайней мере достаточно глубоко знать матлог. А грузить каждого физика и технаря матлогом - это извращение (потому что матлог ломает мозги, спорить будешь?). А если понимать на уровне домохозяйки, то придётся рано или поздно столкнуться с тем, что в голове - каша.
А преподавание стандартного анализа вообще не обязательно начинать с топологии, это можно делать и не вызывая отвращение у студентов.

lena1978

чтобы научить человека решать задачи с использованием матана, в дебри никакие лезть не стоит, конечно. достаточно дать необходимый набор правил.

spiritmc

Физика --- наиболее проработанная естественная наука, и поэтому
при разборе экономики (а уж тем более инженерии, которая большей
частью является прикладной физикой надо учитывать опыт физики.
Мало того, если ты оглянешься чуть назад, то увидишь, что очень
многие последние успехи в гуманитарных науках непосредственно
связаны с вторжением теоретико-физических методов исследования.
Хотя бы в рамках той же синергетики.
Кстати, математический анализ тоже вырос из физики, нужен,
в первую очередь, той же физике (и инженерии). Может, напомнишь,
чем занимались те люди, чьи имена написаны на табличках,
что висят на мехмате?
Так что кто бы говорил.
---
"Математик может говорить, что ему хочется,
но физик должен, хотя бы в какой-то мере, быть в здравом рассудке."

spiritmc

> Чтобы понять нестандартный матанализ на строгом уровне, нужно
> по крайней мере достаточно глубоко знать матлог.
А для классического?
Думаешь меньше, да?
У тебя есть основания утверждать это? Хотя бы какие-нибудь,
потому что очевидно, что ты не обладаешь действительным опытом.
> А грузить каждого физика и технаря матлогом - это извращение
> (потому что матлог ломает мозги, спорить будешь?).
> А если понимать на уровне домохозяйки, то придётся рано или
> поздно столкнуться с тем, что в голове - каша.
Если учесть, что все эти "для любого неотрицательного епсилон
существует натуральное эн, что" сделаны только для промежуточного
обоснования свойств бесконечно малых и бесконечно больших величин,
то для инженеров и экономистов, которые в боевых условиях будут
всё равно работать с бесконечно малыми и бесконечно большими,
совершенно безразлична "общеприменимость". Ещё раз повторяю:
наиболее часто встречаемые задачи должны решаться просто.
И твои слова, что "нужно по крайней мере достаточно глубоко
знать матлог", это полная чушь, расчитанная на тех, кто не знает
логики.
Кстати, а сам-то ты её знаешь? Судя по всему, нет.
Потому что, если бы знал, то понимал бы, что и классический,
и неклассический анализы опираются на одно и то же исчисление
предикатов, для работы с которым не надо знать все прочие
исчисления. А в какой мере классическое исчисление предикатов
задействовано в курсе математического анализа, достаточно
открыть учебник и увидеть, что начиная с первых страниц он
испещрён поставленными на уши буквами "А", развёрнутыми в
другую сторону буквами "E" и стрелочками. И я ещё не слышал,
чтобы младшекурсников грузили секвенциями или доказывали
теорему о дедукции, хотя они там используются в полной мере,
только вслух не называются.
> А преподавание стандартного анализа вообще не обязательно
> начинать с топологии, это можно делать и не вызывая отвращение
> у студентов.
Однако курс Садовничего и Чубарикова опирается на базис фильтра,
причём про фильтры, насколько я помню, ничего не говорится.
---
"Телеграммой лети, строфа!"

spiritmc

> чтобы научить человека решать задачи с использованием матана,
> в дебри никакие лезть не стоит, конечно. достаточно дать
> необходимый набор правил.
Да, фактически, мы спорим о том, что подход Коши хуже подхода
Робинсона. По крайней мере, для обучения нематематиков.
---
"Крепче держите попкорн, граждане, плохо ваше дело;
ща вылезет --- устроит всем полный Армагеддец!"

Xephon

Хороший у вас тут спор...
Интересно, а какой учебник математического анализа для вас — лучший?
Для меня таким был Фихтенгольц.

Dallas

А для классического?
Думаешь меньше, да?
У тебя есть основания утверждать это? Хотя бы какие-нибудь,
потому что очевидно, что ты не обладаешь действительным опытом.
Для классического матлог не нужно знать вообще. Достаточно иметь интуитивное представление о том, что такое "существует" и "для любого" и хотя бы приблизительное представление о логике на бытовом уровне.
Кстати, а сам-то ты её знаешь? Судя по всему, нет.
не бузите, да не бузимы будете
Потому что, если бы знал, то понимал бы, что и классический,
и неклассический анализы опираются на одно и то же исчисление
предикатов, для работы с которым не надо знать все прочие
исчисления. А в какой мере классическое исчисление предикатов
задействовано в курсе математического анализа, достаточно
открыть учебник и увидеть, что начиная с первых страниц он
испещрён поставленными на уши буквами "А", развёрнутыми в
другую сторону буквами "E" и стрелочками. И я ещё не слышал,
чтобы младшекурсников грузили секвенциями или доказывали
теорему о дедукции, хотя они там используются в полной мере,
только вслух не называются.
Если всё проделывать формально, то они оба опираются не только на исчисление предикатов, но ещё и на аксиомы.
Но про формализм мы забудем, ибо нафиг как правило не нужен.
Для понимания обычного матанализа достаточно интуитивных представлений о логике, а для нестандартного - нужно обосновывать его непротиворечивость и небредовость, что не очевидно, и на первый взгляд вызывает большие сомнения.
Однако курс Садовничего и Чубарикова опирается на базис фильтра,
причём про фильтры, насколько я помню, ничего не говорится.
почитай другой учебник
Если учесть, что все эти "для любого неотрицательного епсилон
существует натуральное эн, что" сделаны только для промежуточного
обоснования свойств бесконечно малых и бесконечно больших величин,
то для инженеров и экономистов, которые в боевых условиях будут
всё равно работать с бесконечно малыми и бесконечно большими,
совершенно безразлична "общеприменимость". Ещё раз повторяю:
наиболее часто встречаемые задачи должны решаться просто.
Во избежание каши в голове необходимо знать, откуда растут ноги.

spiritmc

> Для классического матлог не нужно знать вообще.
> Достаточно иметь интуитивное представление о том,
> что такое "существует" и "для любого" и хотя бы
> приблизительное представление о логике на бытовом уровне.
Для робинсоновского точно так же.
> Для понимания обычного матанализа достаточно интуитивных
> представлений о логике, а для нестандартного - нужно
> обосновывать его непротиворечивость и небредовость, что не
> очевидно, и на первый взгляд вызывает большие сомнения.
Обосновывать надо тем, кто уже испорчен классическим и боится,
что что-то поменяется, а для вновь прибывших достаточно обычных
представлений о бесконечно малых величинах и бесконечно больших
величинах. Уточнение, что такое есть бесконечно малая величина,
ничуть не сложнее тех же дедекиндовых сечений.
Про аксиому Архимеда узнают в одно время что в курсе
классического, что в курсе робинсоновского анализа,
только в классическом анализе на неё не опираются,
почему могут вообще не узнать, а в робинсоновском она
рассматривается подробно, ибо выделяет бесконечно малые.
И, кстати, непротиворечивость очевидна, потому что она следует
из всем (кроме, может быть, математиков) знакомого принципа
соответствия, а небредовость из непосредственной применимости
в практике.
> Во избежание каши в голове необходимо знать, откуда растут ноги.
Совершенно не обязательно рассматривать задницу настолько подробно.
---
"Истина всегда конкретна."

Sergey79

Ты просто не знаешь физики (это не наезд, это правда) и, как следствие, портишь много тредов в этом разделе. Это опять таки не наезд (т.к. ты пишешь с добрыми намерениями а просьба.
Мне бы не хотелось, чтобы этот пост звучал как шпилька, или гадость. Просто, мне кажется, кто-то должен это сказать (делаю это без удовольствия).

lena1978

курс Садовничего и Чубарикова опирается на базис фильтра
ну не сильно он опирается. а в самом понятии ничего страшного нет, хотя там коряво оно объясняется.
мне нравится, как там действительные числа вводятся. бесконечная десятичная дробь и все. а обычные аксиомы уже выводятся из определения и свойств натуральных чисел.

Dallas

для понимания например вот этого:
Построение неизмеримого множества. Каждое действительное число x, удовлетворяющее неравенству 0<=x<=1, разлагаем в бесконечную двоичную дробь; для обеспечения однозначности запрещаем разложения с бесконечным числом идущих подряд единиц. Фиксируем произвольное бесконечно большое натуральное число v и отбираем те действительные числа y, у которых v-й член разложения равен единице; множество всех отобранных таким образом действительных чисел неизмеримо по Лебегу.
тебе достаточно интуитивных представлений о логике?
Я, например, не понимаю, что значит цифра двоичной записи действительного числа с бесконечно большим номером. И вообще, у бесконечно малых/больших объектов нету "очевидных" отображений в реальном мире, их ещё надо построить.

spiritmc

> ну не сильно он опирается.
Однако, зачем-то он там есть, причём выглядит пятой ногой.
Ни туда, ни сюда.
> а в самом понятии ничего страшного нет, хотя там коряво оно объясняется.
Понятия открытого множества и прочих образов-прообразов тоже
даются, но даже преподаватели не всегда знают об эквивалентности
топологического определения непрерывности тому, к которому они
привыкли.
---
"Мы диалектику учили не по Гегелю.
Бряцанием боёв она врывалась в стих..."

Dallas

но даже преподаватели не всегда знают об эквивалентности топологического определения непрерывности тому, к которому они привыкли
ну это ты загнул

lena1978

Однако, зачем-то он там есть
чтоб не формулировать и доказывать отдельно утверждения для стремления к точке, для стремления к бесконечности и для стремления слева и справа. когда от вида стремления суть не зависит, удобно заменить это одним понятием.

spiritmc

>> множество всех отобранных таким образом действительных чисел
>> неизмеримо по Лебегу.
> тебе достаточно интуитивных представлений о логике?
Пересечение бесконечной совокупности, по-твоему, более очевидно?
По мне, так нет. Поэтому для отвлечённых понятий, связанных с
использованием актуальных бесконечностей, надо выбирать то, что
имеет более простое соответствие. В частности, бесконечно малым
величинам соответствует одно измерение, а формализму Коши ---
серии или временные ряды. Последнее очевидно что сложнее.
---
"Расширь своё сознание!"

spiritmc

>> но даже преподаватели не всегда знают об эквивалентности
>> топологического определения непрерывности тому, к которому
>> они привыкли
> ну это ты загнул
Это так и есть, к сожалению. Установлено опытным путём.
---
"Мы диалектику учили не по Гегелю.
Бряцанием боёв она врывалась в стих..."

Dallas

Пересечение бесконечной совокупности, по-твоему, более очевидно?
Это гораздо более очевидно, потому что это всего навсего множество всех объектов, которые лежат во всех этих совокупностях (можно сказать, что для каждого объекта можно вообразить процесс проверки, принадлежит он этому пересечению или нет; поэтому и "процесс получения" самого этого пересечения тоже можно представить).
А вот для бесконечно малых величин я не вижу таких вот "интерпретаций" в реальном мире. Может, ты подскажешь?

spiritmc

>> Однако, зачем-то он там есть
> чтоб не формулировать и доказывать отдельно утверждения для
> стремления к точке, для стремления к бесконечности и для
> стремления слева и справа.
Возможно.
Только для этого совсем не обязательно вводить новое понятие,
тут всего три случая, можно было бы воспользоваться подстановкой.
> когда от вида стремления суть не зависит, удобно заменить это
> одним понятием.
Только не надо отсылать меня к Пуанкаре, я и сам это знаю.
Но хотя бы не настолько коряво и непоследовательно можно было бы сделать?
---
"Абрек на кого попало лаять не станет. Если бы его след вывел..."

Dallas

Это так и есть, к сожалению. Установлено опытным путём.
А ещё опытным путём установлено, что большинство студетнов, считающих, что преподаватель сам не понимает что говорит, просто ничерта не разобрались в том, что им хочет сказать этот самый преподаватель. Особенно к преподавателям - математикам относится. Конечно, попадаются преподаватели-фрики, но это очень большая редкость, и в их наличии не нужно винить университет, факультет, сообщество учёных-математиков и т.п., это уж, как говорится, в семье не без урода.

spiritmc

>> Пересечение бесконечной совокупности, по-твоему, более очевидно?
> Это гораздо более очевидно, потому что это всего навсего
> множество всех объектов, которые лежат во всех этих
> совокупностях (можно сказать, что для каждого объекта можно
> вообразить процесс проверки, принадлежит он этому пересечению
> или нет; поэтому и "процесс получения" самого этого
> пересечения тоже можно представить).
Это нисколько не более очевидно, потому что никакими конечными
проверками невозможно узнать, существует ли какой-то
определённый объект или нет, принадлежит ли объект всем
множествам совокупности или нет. Поэтому и пересечение
бесконечной совокупности нисколько не очевидное действие.
> А вот для бесконечно малых величин я не вижу таких вот
> "интерпретаций" в реальном мире. Может, ты подскажешь?
Про соотношение неопределённостей и теорию измерений ни разу не слышал?
В школе определения пробного заряда не давали?
---
"Математика --- лучший способ водить самого себя за нос."

Lokomotiv59

Вся фишка в том, что невозможно строго дать <<неопределяемые>> понятия. Поэтому в обучении используют человеческую интуицию. С точки зрения интуиции понятие предела более очевидно (имеется наглядная геометрическая интерпретация чем исчисление предикатов.

spiritmc

> Конечно, попадаются преподаватели-фрики, но это очень большая редкость
О, да. Радует то, что присутствует второй преподаватель, который
может сказать: "Я тебе потом объясню." Правда, он точно так же
может и не сказать.
Или тоже не знать.
---
"Мы диалектику учили не по Гегелю.
Бряцанием боёв она врывалась в стих..."

lena1978

Но хотя бы не настолько коряво и непоследовательно можно было бы сделать?
В том препарированном виде, в котором излагают математику на мехматах, нельзя. Это артефакты разделения по предметам, еще и разнесенным по времени в учебном плане.
Здесь на самом деле очень сложная проблема затронута, просто критики мало, и не факт, что она всегда справедлива. не факт, что все можно радикально поменять. И все же надо разделять задачи обучения математиков и нематематиков.

Dallas

Это нисколько не более очевидно, потому что никакими конечными
проверками невозможно узнать, существует ли какой-то
определённый объект или нет, принадлежит ли объект всем
множествам совокупности или нет. Поэтому и пересечение
бесконечной совокупности нисколько не очевидное действие.
В принципе, спорить не буду, что тут есть некое западло. Но это уже к вопросу о непротиворечивости теории множеств, а не какой-либо конкретной частной теории. А вот с бесконечно - малыми вообще нет таких вот очевидных интерпретаций (даже если разрешить операции с бесконечным числом объектов).
Про соотношение неопределённостей и теорию измерений ни разу не слышал?
В школе определения пробного заряда не давали?
Давай без соотношений неопределённостей, это вовсе не интуитивно-ясная вещь.

lena1978

Про соотношение неопределённостей
а там есть бесконечно малые величины?

spiritmc

С точки зрения интуиции, бесконечностей не существует. Никаких.
Поэтому даже с бесконечными десятичными записями ничего не ясно.
Если же брать близкие к ощущаемой действительности понятия,
бесконечно малые величины проще бесконечных множеств бесконечных
последовательностей.
---
"Крепче держите попкорн, граждане, плохо ваше дело;
ща вылезет --- устроит всем полный Армагеддец!"

Dallas

О, да. Радует то, что присутствует второй преподаватель, который может сказать: "Я тебе потом объясню." Правда, он точно так жеможет и не сказать.Или тоже не знать.
Ну тут уж на 100% вся вина на тебе (не разобрался просто). Хотя, может быть, преподы просто объяснять не умеют, но в этом случае есть учебники.

spiritmc

>> Про соотношение неопределённостей
> а там есть бесконечно малые величины?
Есть.
Это и есть то место, где объясняется, почему не работает
классическая механика, и вот там привлекается классический
процесс измерения с бесконечно малыми возмущениями.
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

Dallas

С точки зрения интуиции, бесконечностей не существует. Никаких.Поэтому даже с бесконечными десятичными записями ничего не ясно.
Бесконечные множества (по КОЛИЧЕСТВУ элементов) гораздо более приемлемы для интуиции, чем бесконечные объекты (по ВЕЛИЧИНЕ).

Lokomotiv59

Итуиция в разных ситуациях ведет себя по-разному.
1. Когда я решаю задачу на вычисление конкретного предела, мне интуиция подсказывает, что оперирование с пределами вполне законно. При этом я не доказываю эту законность путем логического вывода в модели.
2. Когда я хочу доказать, что предела не существует, опять-таки интуиция мне говорит, что я не смогу этого сделать, если не рассмотрю понятие формально, то есть как последовательность.

spiritmc

> Ну тут уж на 100% вся вина на тебе (не разобрался просто).
А, ну да, студент обязан разбираться в том, знает ли
преподаватель свой предмет и насколько плохо он его знает.
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

Dallas

студент обязан верить, что преподаватель идеально знает предмет (и осознавать свою греховную сущность)

spiritmc

> В том препарированном виде, в котором излагают
> математику на мехматах, нельзя. Это артефакты
> разделения по предметам, еще и разнесенным по
> времени в учебном плане.
Однако что-то помешало пойти классическим путём с примечаниями
"то же справедливо для односторонних пределов."
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

Dallas

> Ну тут уж на 100% вся вина на тебе (не разобрался просто).
А, ну да, студент обязан разбираться в том, знает ли преподаватель свой предмет и насколько плохо он его знает.
Я имел в виду, что ты не разобрался в том, что говорит преподаватель. А преподаватель отлично знает свой предмет.

spiritmc

> Бесконечные множества (по КОЛИЧЕСТВУ элементов) гораздо более
> приемлемы для интуиции, чем бесконечные объекты (по ВЕЛИЧИНЕ).
_Что_ и _где_ на это указывает?
Бесконечно малые очевидны, следуют из опыта измерений.
Бесконечно большие чуть менее очевидны, но тоже следуют
из обыденного опыта. _В_том_числе_.
Бесконечные множества значительно менее очевидны, из-за пределов
человеческого мышления. Их уже нельзя просто так рассматривать
как совокупности, а если рассматривать их формально, как объекты
с определёнными свойствами, то это уже не совокупности, а
какие-то отвлечённые величины в непривычном исчислении.
Да и при введении бесконечного множества (только не формальном,
а логическом) используется понятие бесконечно большой величины.
---
"Истина грядёт --- её ничто не остановит!"

Dallas

Бесконечно малые очевидны, следуют из опыта измерений.
Бесконечно большие чуть менее очевидны, но тоже следуют
из обыденного опыта. _В_том_числе_.
Из какого такого опыта? Покажи мне обыденный пример (без квантовых штучек, потому что там всё не так ясно, как может показаться, и интерпретировать результаты опытов можно по-разному).
Бесконечные множества значительно менее очевидны, из-за пределов
человеческого мышления. Их уже нельзя просто так рассматривать
как совокупности, а если рассматривать их формально, как объекты
с определёнными свойствами, то это уже не совокупности, а
какие-то отвлечённые величины в непривычном исчислении.
Человеческое мышление не позволяет представить бесконечные множества, однако интуиция подсказывает, что вполне можно оперировать бесконечными множествами, не нарвавшись на противоречие/бред, потому что каждую операцию можно представить как операцию над элементами с одним единственным допущением: возможности одновременного выполнения бесконечного числа операций.
Да и при введении бесконечного множества (только не формальном,
а логическом) используется понятие бесконечно большой величины.
Не используется, у них даже свойства совсем другие.

spiritmc

>> Бесконечно малые очевидны, следуют из опыта измерений.
> Из какого такого опыта? Покажи мне обыденный пример
Ты суп из кастрюли ни разу пробовал? Зачёрпывал полный половник?
Боялся, что свойства супа сильно изменятся за счёт снятия пробы?
> Человеческое мышление не позволяет представить бесконечные
> множества, однако интуиция подсказывает
И ошибается.
Как потом выяснилось.
>> Да и при введении бесконечного множества (только не формальном,
>> а логическом) используется понятие бесконечно большой величины.
> Не используется, у них даже свойства совсем другие.
Кстати, даже формально бесконечные множества приходится вводить отдельно.
При введении множества используется аксиома объёмности.
Расскажи, как ты с её помощью построишь бесконечное множество?
Интуитивно, тебе может не хватить объектов даже для раздачи имён.
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

Dallas

Ты суп из кастрюли ни разу пробовал? Зачёрпывал полный половник?
Боялся, что свойства супа сильно изменятся за счёт снятия пробы?
какое это имеет отношение к бесконечно малым величинам?
Кстати, даже формально бесконечные множества приходится вводить отдельно.
При введении множества используется аксиома объёмности.
Расскажи, как ты с её помощью построишь бесконечное множество?
Интуитивно, тебе может не хватить объектов даже для раздачи имён.
Формально при помощи аксиом множества не строят, а описывают их свойства. Аксиома объёмности верна как для конечных, так и для бесконечных множеств.

seregaohota

> чтоб не формулировать и доказывать отдельно утверждения для
> стремления к точке, для стремления к бесконечности и для
> стремления слева и справа.
Возможно.
Только для этого совсем не обязательно вводить новое понятие,
тут всего три случая, можно было бы воспользоваться подстановкой.
Может я не в теме, но мне всегда казалось что разных пределов 6*4=24 штуки. При стремлении аргумента к конечному значению, то же справа, то же слева, при стремлении к плюс, минус и просто бесконечности. Само значение предела также может быть конечным числом и плюс, минус и просто бесконечностью.
Это если на R.

spiritmc

>> Ты суп из кастрюли ни разу пробовал? Зачёрпывал полный половник?
>> Боялся, что свойства супа сильно изменятся за счёт снятия пробы?
> какое это имеет отношение к бесконечно малым величинам?
Прямое и непосредственное.
Именно величина пробы позволяет говорить, что "не убудет."
---
"Математика --- лучший способ водить самого себя за нос."

Dallas

Ничего не понял.
Причём тут БЕСКОНЕЧНО малые?

spiritmc

То, что ты зачёрпываешь ложкой --- бесконечно малая.
---
"Дебилы, несмотря на замедленность и конкретность мышления,
низкий уровень суждений, узкий кругозор, бедный запас слов
и слабую память, способны к приобретению некоторых знаний
и профессиональных навыков."

Dallas

Ты хочешь что-то очень маленькое привести в качестве примера для бесконечно малого? Не пройдёт. Тут и свойства совсем другие, да и вообще ничего общего.
P.S. подпись про дебилов мощь аргументации не увеличивает, если что

seregaohota

>> Ты суп из кастрюли ни разу пробовал? Зачёрпывал полный половник?
>> Боялся, что свойства супа сильно изменятся за счёт снятия пробы?
> какое это имеет отношение к бесконечно малым величинам?
Прямое и непосредственное.
Именно величина пробы позволяет говорить, что "не убудет."
Когда я бесконечно голодный и пробую суп в походе, то бесконечно малое остаётся в котелке

lena1978

неубедительно
один матанист (не на мехмате) говорил про запах колбасы, которым невозможно наесться. больше похоже на бесконечно малые величины

spiritmc

> Ты хочешь что-то очень маленькое привести в качестве примера
> для бесконечно малого? Не пройдёт.
Ну а что ты приводишь в качестве прообраза своих процессов?
Его в жизни редко где встретишь.
Если ты забываешь, о чём говоришь, повторю ещё раз.
Классический анализ опирается на очень неочевидные абстракции,
не имеющие прообраза в повседневной жизни. Это приводит к тому,
что студент, который в будущем всё равно будет работать в
понятиях бесконечно больших и бесконечно малых, где-то треть,
а то и половину курса изучает обоснование этого метода через то,
что не будет использоваться в дальнейшем. И это вместо того,
чтобы более глубоко проработать опорные понятия, то есть те
самые бесконечно большие и бесконечно малые.
---
"Математик может говорить, что ему хочется,
но физик должен, хотя бы в какой-то мере, быть в здравом рассудке."

spiritmc

Бесконечности бывают разных порядков, так что ничего
удивительного здесь нет.
---
"Математик может говорить, что ему хочется,
но физик должен, хотя бы в какой-то мере, быть в здравом рассудке."

spiritmc

Так тоже можно.
Это ничего не меняет. Бесконечно малые и бесконечно большие так
и остаются величинами, имеющими прообраз в обыденности.
При преподавании классического анализа много работы уходит на
то, чтобы обосновать действия с бесконечно малыми через модели,
не имеющие обыденного прообраза.
---
"Математика --- лучший способ водить самого себя за нос."

lena1978

При преподавании классического анализа много работы уходит на
то, чтобы обосновать действия с бесконечно малыми через модели,
не имеющие обыденного прообраза.
Многие конструкции, водимые при этом, потом всплывают в других разделах математики. Например, пополнения каких-то множеств через фундаментальные последовательности.
Бывает, что предел такой последовательности никак по другому не опишешь нормально, предельный объект отождествляется с классом фундаментальных последовательностей и определяется им.
Если ставить целью научить решать задачи с помощью методов матана, то может быть и не стоит особо парить мозги. А для студентов-математиков расказ про все эти тонкости - это так называемая прививка математической культуры. Задачи они после этого все равно будут решать как технари, но при изучении более абстракных разделов не будут выпучивать глаза и впадать в панику.

Dallas

Ну а что ты приводишь в качестве прообраза своих процессов?
Его в жизни редко где встретишь.
Если ты забываешь, о чём говоришь, повторю ещё раз.
Классический анализ опирается на очень неочевидные абстракции,
не имеющие прообраза в повседневной жизни. Это приводит к тому,
что студент, который в будущем всё равно будет работать в
понятиях бесконечно больших и бесконечно малых, где-то треть,
а то и половину курса изучает обоснование этого метода через то,
что не будет использоваться в дальнейшем. И это вместо того,
чтобы более глубоко проработать опорные понятия, то есть те
самые бесконечно большие и бесконечно малые.
Какие неочевидные абстракции? Вещественнное число - это точка. Последовательность - это много точек (что-то такое вдаль уходящее причём каждая точка имеет свой номер (натуральное число - количество яблок и поэтому каждую точку по отдельности можно пощупать. А со всей последовательностью можно работать на языке "существует/для любого". Весь остальной матан строится на этом.

spiritmc

> Многие конструкции, водимые при этом, потом всплывают в других
> разделах математики.
> Если ставить целью научить решать задачи с помощью методов
> матана, то может быть и не стоит особо парить мозги.
Насколько сильно мы будем отрываться от исходного вопроса?
Напомню, что он связан с преподаванием математического анализа
нематематикам. В частности, экономистам.
> А для студентов-математиков расказ про все эти тонкости - это
> так называемая прививка математической культуры.
> Задачи они после этого все равно будут решать как технари, но
> при изучении более абстрактных разделов не будут выпучивать
> глаза и впадать в панику.
Ну, вот здесь и сейчас мы наблюдаем, наглядно, как математики
впадают в панику при столкновении с чуть другим представлением
того же математического анализа. Совершают грубые логические
ошибки даже на математическом уровне, не говоря уж о научном.
Ты уверен, что неознакомление студента-математика с
неархимедовым анализом не приводит к худшим последствиям,
чем чуть более позднее знакомство с фундаментальными
последовательностями?
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

spiritmc

>> Ну а что ты приводишь в качестве прообраза своих процессов?
>> Его в жизни редко где встретишь.
> Какие неочевидные абстракции? Вещественнное число - это точка.
> Последовательность - это много точек (что-то такое вдаль
> уходящее причём каждая точка имеет свой номер (натуральное
> число - количество яблок и поэтому каждую точку по
> отдельности можно пощупать.
> А со всей последовательностью можно работать на языке
> "существует/для любого". Весь остальной матан строится на
> этом.
Между первой частью и второй лежит большой смысловой разрыв.
Если тебе хорошо пропудрили мозг за пять лет обучения на
мехмате, это не означает, что разрыв хоть сколько-нибудь
уменьшился, тем более --- пропал совсем.
Одно дело --- когда ты говоришь "бесконечно малая,"
и совсем другое --- "последовательность x_n, в которой для
любого неотрицательного r существует n_0, начиная с которого
все члены последовательности ближе к нулю, чем r."
Можешь переформулировать как тебе больше нравится.
Если бы ты знал физику, ты бы понимал, что есть разница между
моделированием и простым абстрагированием.
---
"Математика --- лучший способ водить самого себя за нос."

Dallas

Между первой частью и второй лежит большой смысловой разрыв.
Смысловой разрыв есть, но это цветочки по сравнению с введением каких-то непонятных бесконечно-малых и бесконечно больших величин разного порядка и использованием бесконечно больших чисел в качестве индексов цифр в десятичной записи или ещё где-нибудь. Особенно для начинающего.
Если тебе хорошо пропудрили мозг за пять лет обучения на
мехмате
Мне там не могли пропудрить мозг, потому что я там не учился ни пяти лет, ни даже одного месяца.
Если бы ты знал физику
А ты знаешь физику?

lena1978

Ты уверен, что неознакомление студента-математика с
неархимедовым анализом не приводит к худшим последствиям,
чем чуть более позднее знакомство с фундаментальными
последовательностями?
я не знаком с неархимедовым анализом и не знаю, где могут еще применяться аналогичные конструкции. может быть они и распространены менее широко, чем конструкции, похожие на обычные матановские именно потому, что большая часть математиков тоже не знакома с этим анализом. но может быть, что они действительно менее естественные, поэтому и бесплодны для других разделов. не знаю.
Насколько сильно мы будем отрываться от исходного вопроса?
Напомню, что он связан с преподаванием математического анализа
нематематикам. В частности, экономистам.

я всего лишь хотел обозначить пожирнее рамки темы, а то тут уже не понятно было, о чем спор.

spiritmc

>> Между первой частью и второй лежит большой смысловой разрыв.
> Смысловой разрыв есть, но это цветочки по сравнению с
> введением каких-то непонятных бесконечно-малых и бесконечно
> больших величин разного порядка и использованием бесконечно
> больших чисел в качестве индексов цифр в десятичной записи или
> ещё где-нибудь. Особенно для начинающего.
Ты опять уходишь к своему излюбленному методу доказательств
"меня учили так, и по-другому сложнее." Твой подход привлекает
моделирование, этим он уже на порядок сложнее робинсоновского.
Единичный пример с неизмеримостью по Лебегу ничего не меняет,
потому что он висит в воздухе и для начинающего не имеет
никакого смысла _независимо_ от того, в каких понятиях он
изложен. За счёт одной только измеримости по Лебегу.
И в классической постановке этот пример новичку будет ничуть
не более понятен, поскольку там будет пересечение бесконечной
совокупности множеств.
Порядки бесконечно больших и бесконечно малых появляются ещё в
школьной физике, к твоему сведению. И они интуитивно понятны:
очевидно, что собака намного меньше слона, а муха --- собаки.
---
"Математик может говорить, что ему хочется,
но физик должен, хотя бы в какой-то мере, быть в здравом рассудке."

spiritmc

> я не знаком с неархимедовым анализом и не знаю,
> где могут еще применяться аналогичные конструкции.
> может быть они и распространены менее широко, чем конструкции,
> похожие на обычные матановские именно потому, что большая
> часть математиков тоже не знакома с этим анализом. но может
> быть, что они действительно менее естественные, поэтому и
> бесплодны для других разделов. не знаю.
Итого, "я с этим незнаком, не вижу пользы для математика,
поэтому и для нематематика никакой пользы нет."
---
"Математик может говорить, что ему хочется,
но физик должен, хотя бы в какой-то мере, быть в здравом рассудке."

lena1978

Итого, "я с этим незнаком, не вижу пользы для математика,
поэтому и для нематематика никакой пользы нет."
этого я не говорил
я не утверждаю бесполезности изучения чего-либо. а ты как раз утверждаешь.

Dallas

Ты опять уходишь к своему излюбленному методу доказательств
"меня учили так, и по-другому сложнее." Твой подход привлекает
моделирование, этим он уже на порядок сложнее робинсоновского.
Какое ещё нафиг моделирование? Классический подход устроен так, что чтобы его понять полностью (а не только отдельные части, удобные для инженеров достаточно иметь естественную интуицию (со слегка математическим уклоном). Для обоснования же корректности тех конструкций, которые используются в нестандартном анализе, нужно привлекать методы мат. логики. Это как доказывать непротиворечивость стандартных аксиом теории множеств и отрицания континуум-гипотезы. Нужно строить "модель мира", причём она абсолютно неестественна для ума юного инженера или физика, строится она с использованием чисто мат.логических приёмов, оперируя с термами, формулами, выводами и т.п.
Единичный пример с неизмеримостью по Лебегу ничего не меняет,
потому что он висит в воздухе и для начинающего не имеет
никакого смысла _независимо_ от того, в каких понятиях он
изложен. За счёт одной только измеримости по Лебегу.
И в классической постановке этот пример новичку будет ничуть
не более понятен, поскольку там будет пересечение бесконечной
совокупности множеств.
Ты походу не так понял, для чего я тут эксплуатирую этот пример. С твоей точки зрения ты будешь даже прав, потому что неизмеримое по Лебегу множество действительно строится проще средствами нестандартного анализа. В стандартном анализе для построения неизмеримого множества придётся не только использовать твои любимые пересечения бесконечных совокупностей, но и спорную аксиому выбора (при обосновании нестандартного анализа в рамках теории множеств, походу, она тоже должна использоваться).
Мне вообще пофигу и на лебега, и на измеримость. Я хочу обратить внимание не на результат построения, а на СПОСОБ. Ты когда последний раз в природе встречал массивы с бесконечно большими индексами?
Порядки бесконечно больших и бесконечно малых появляются ещё в
школьной физике, к твоему сведению. И они интуитивно понятны:
очевидно, что собака намного меньше слона, а муха --- собаки.
Интуитивно понятно, что слон больше собаки, а собака больше мухи, и всё это - конечные величины. А порядки проявляются при попытке исследовать асимптотики функций, раскладывать в ряд тэйлора и т.п.
---
Опытный гранатомётчик легко сделает слона из "мухи".

spiritmc

> этого я не говорил
Но это следует.
> я не утверждаю бесполезности изучения чего-либо.
> а ты как раз утверждаешь.
У курса есть какая-то полезная нагрузка, верно?
Какова, по-твоему, цель преподавания математического анализа
нематематикам? Просто привитие математической культуры?
Чем эта математическая культура становится хуже, если заменить
привычный нынешним преподавателям анализ неархимедовым?
---
"Рот фронт, группенфюрер..."

spiritmc

>> Ты опять уходишь к своему излюбленному методу доказательств
>> "меня учили так, и по-другому сложнее." Твой подход привлекает
>> моделирование, этим он уже на порядок сложнее робинсоновского.
> Какое ещё нафиг моделирование?
Обычное. Ты моделируешь бесконечно малые величины
последовательностями, сходящимися к нулю.
> Классический подход устроен так, что чтобы его понять
> полностью (а не только отдельные части, удобные для
> инженеров достаточно иметь естественную интуицию
> (со слегка математическим уклоном). Для обоснования же
> корректности тех конструкций, которые используются в
> нестандартном анализе, нужно привлекать методы мат. логики.
> Это как доказывать непротиворечивость стандартных аксиом
> теории множеств и отрицания континуум-гипотезы.
Бли-ин, опять заново.
Где ты увидел больший упор на математическую логику?
Это _тебе_, изучившему архимедов анализ, боязно, что что-то
поменяется, если вместо моделирования бесконечно малых
использовать абстрактные бесконечно малые непосредственно,
определяя их непосредственно свойствами, тогда как ты привык
выводить их из свойств последовательностей.
> Нужно строить "модель мира", причём она абсолютно
> неестественна для ума юного инженера или физика,
> строится она с использованием чисто мат.логических приёмов,
> оперируя с термами, формулами, выводами и т.п.
Если ты откроешь _любой_ учебник по анализу, ты с первых страниц
увидишь кучу чисто матлогических приёмов, операций с термами,
формулами, выводами и всем тем же самым. Так что всё отличие
заключается в исходных посылках. И вот исходные посылки таковы:
а) архимедов анализ --- отрицание бесконечно малых,
моделирование последних классами последовательностей чисел,
выведение свойств бесконечно малых и (очень корявое) обоснование
ограниченного исчисления бесконечно малых и бесконечно больших;
б) неархимедов анализ --- введение бесконечно малых,
непосредственное определение исчисления, несильно отличающегося
от наивного, которое _уже_, со школы знакомо инженерам и физикам.
> В стандартном анализе для построения неизмеримого множества
> придётся не только использовать твои любимые пересечения
> бесконечных совокупностей, но и спорную аксиому выбора
С точки зрения физика, бесконечные совокупности философски
ничуть не более состоятельны, чем неограниченая аксиома выбора.
> Мне вообще пофигу и на лебега, и на измеримость. Я хочу
> обратить внимание не на результат построения, а на СПОСОБ.
> Ты когда последний раз в природе встречал массивы с бесконечно
> большими индексами?
А ты --- неизмеримые по Лебегу множества?
Так вот, термодинамика с квантами эл.-маг. поля ничуть не более
интуитивная вещь, чем массивы с бесконечно большими индексами.
Хотя эти кванты физически обоснованы и ты ну никак не может
пренебречь явлениями, ими объясняемыми.
---
"Рот фронт, группенфюрер..."

lena1978

Но это следует.
неархимедов анализ разрушил твой мозг
 
У курса есть какая-то полезная нагрузка, верно?
Какова, по-твоему, цель преподавания математического анализа
нематематикам? Просто привитие математической культуры?
Чем эта математическая культура становится хуже, если заменить
привычный нынешним преподавателям анализ неархимедовым?

нематематикам необходимо дать правила вычисления: правила дифференцирования, правила интегрирования, правила вычисления радиуса сходимости, правила вычисления пределов и т.д. а пояснения к этому делу можно давать на любом языке. лучше всего на пальцах.

spiritmc

>> Но это следует.
> неархимедов анализ разрушил твой мозг
И расширил сознание.
> нематематикам необходимо дать правила вычисления:
> правила дифференцирования, правила интегрирования, правила
> вычисления радиуса сходимости, правила вычисления пределов
> и т.д. а пояснения к этому делу можно давать на любом языке.
> лучше всего на пальцах.
Однако им ещё и пытаются привить какую-то математическую культуру.
Кстати, о последней.
Её необходимость обосновывают развитием логических навыков.
"Внимание, вопрос!"
Если неархимедов анализ более упирает на логику, то он в этом
отношении более полезен. Собственно вопрос: какого чёрта?
---
"Крепче держите попкорн, граждане, плохо ваше дело;
ща вылезет --- устроит всем полный Армагеддец!"

Dallas

Где ты увидел больший упор на математическую логику?
Это _тебе_, изучившему архимедов анализ, боязно, что что-то
поменяется, если вместо моделирования бесконечно малых
использовать абстрактные бесконечно малые непосредственно,
определяя их непосредственно свойствами, тогда как ты привык
выводить их из свойств последовательностей.
...
Если ты откроешь _любой_ учебник по анализу, ты с первых страниц
увидишь кучу чисто матлогических приёмов, операций с термами,
формулами, выводами и всем тем же самым.
Открой своего любимого Успенского, почитай главу "Нестандартный анализ и математическая логика", обрати внимание на самое первое предложение. Можешь ещё предыдущую главу (построение системы гипердействительных чисел) почитать для разнообразия, обратив внимание на такие слова, как "трансфинитная индукция" и т.п. А потом открой обычный учебник по матану и сравни степень использования математической логики.
Так вот, термодинамика с квантами эл.-маг. поля ничуть не более
интуитивная вещь, чем массивы с бесконечно большими индексами.
Хотя эти кванты физически обоснованы и ты ну никак не может
пренебречь явлениями, ими объясняемыми.
Ты уходишь в сторону. Тут речь идёт о преподавании ОСНОВ мат. анализа. Как преподавание физики нельзя начинать с квантов, так и преподавание матана нельзя начинать с нестандартного анализа.

spiritmc

> Открой своего любимого Успенского, почитай главу
> "Нестандартный анализ и математическая логика",
> обрати внимание на самое первое предложение.
> Можешь ещё предыдущую главу (построение системы
> гипердействительных чисел) почитать для разнообразия,
> обратив внимание на такие слова, как "трансфинитная индукция"
> и т.п. А потом открой обычный учебник по матану и сравни
> степень использования математической логики.
Во-первых Успенский не настолько уж "мой любимый", я его
последний раз читал ещё... Сразу не вспомню, когда.
А во-вторых, эта книга не является учебником, она предназначена
для тех, кто уже знает обычный анализ, почему и использует такие
примеры, как с мерой Лебега.
Достоверно известно (правда, не всем что люди из НМУ ставят
опыты по объяснению трансфинитной индукции школьникам, и у них
это даже получается. Кроме того, не факт, что ТФИ настолько
необходима. Я не вижу этой необходимости, если ты видишь ---
доказывай.
Далее, в те давние времена я пробовал переводить то, что нам
давали, на неархимедовы рельсы, никаких дополнительных знаний
мат. логики это не требовало. Так что твои заявления насчёт
большей логической нагрузки сомнительны. Как я понимаю, ты
не обладаешь даже аналогичным опытом.
> Ты уходишь в сторону. Тут речь идёт о преподавании ОСНОВ мат.
> анализа. Как преподавание физики нельзя начинать с квантов,
> так и преподавание матана нельзя начинать с нестандартного
> анализа.
Знаешь, когда-то учебники по термодинамике начинались с круговых
процессов и где-то под конец рассказывалось про потенциалы, хотя
ещё ван Лаар в 1906-м году сказал, что метод Гиббса---Дюгема
намного проще, несмотря на привлечение более сильных абстракций.
В итоге, можно найти учебник для тех. специальностей, где чуть
ли не с первых страниц начинают использовать диаграммы
температура---энтропия и т. п. _Для_тепловых_машин_.
Потому что так проще.
В общем, опять всё упёрлось в "меня учили так, и иначе быть не может,
потому что не может быть никогда."
---
"Мои слова легко понять и легко осуществить.
Но люди не могут понять и не могут осуществить."
Лао Цзы

Dallas

В общем, опять всё упёрлось в "меня учили так, и иначе быть не может,
потому что не может быть никогда."
В это не упиралось, упиралось в то, что как ты говоришь - это через задницу (иными словами, студентам это будет либо труднее понять, либо при "кустарном" подходе у них останется больше сомнений в голове).
Достоверно известно (правда, не всем что люди из НМУ ставят
опыты по объяснению трансфинитной индукции школьникам, и у них
это даже получается.
Результаты опытов над математиками-олимпиадниками ничего не говорят, тем более о способностях студентов-физиков и инженеров.
Кроме того, не факт, что ТФИ настолько
необходима. Я не вижу этой необходимости, если ты видишь ---
доказывай.
Ну ясно, что она не необходима. Хотя бы потому, что трансфинитная индукция - это не аксиома, возможность её использования выводится из стандартных аксиом теории множеств даже без аксиомы выбора. Другой вопрос, что это через задницу. Но, как я понимаю, модель для нестандартного анализа нельзя построить без аксиомы выбора хотя бы потому, что без неё не строится неизмеримое по Лебегу множество (пусть кто поправит, если я не прав а в нестандартном анализе оно строится без всяких упоминаний об этой аксиоме. А аксиома выбора - это уже довольно спорная абстракция (если тебе не нравятся даже последовательности чисел, то уж использование аксиомы выбора должно быть точно для тебя не приемлемо). Аксиома выбора как раз и позволяет совместно с трансфинитной индукцией строить довольно хитрые противоестественные объекты.
Если ты знаешь, как можно легко обойтись без трансфинитной индукции, напиши здесь или кинь ссылку.
Далее, в те давние времена я пробовал переводить то, что нам
давали, на неархимедовы рельсы, никаких дополнительных знаний
мат. логики это не требовало. Так что твои заявления насчёт
большей логической нагрузки сомнительны. Как я понимаю, ты
не обладаешь даже аналогичным опытом.
В давние времена всякие Лейбницы и прочие тоже активно пользовались всеми этими бесконечно малыми, правда это всегда казалось неким шаманством и порождало кучу сомнений по поводу корректности. Потому наверно наука и пошла по пути классического анализа, ибо там всё строго обосновано, хотя и с использованием бесконечных множеств.
Знаешь, когда-то учебники по термодинамике начинались с круговых
процессов и где-то под конец рассказывалось про потенциалы, хотя
ещё ван Лаар в 1906-м году сказал, что метод Гиббса---Дюгема
намного проще, несмотря на привлечение более сильных абстракций.
В итоге, можно найти учебник для тех. специальностей, где чуть
ли не с первых страниц начинают использовать диаграммы
температура---энтропия и т. п. _Для_тепловых_машин_.
Потому что так проще.
Проще сначала узнать хотя бы, что такое скорость, ускорение, законы ньютона и т.п., а потом уже термодинамику мучить.

spiritmc

>> В общем, опять всё упёрлось в "меня учили так, и иначе быть
>> не может, потому что не может быть никогда."
> В это не упиралось, упиралось в то, что как ты говоришь - это
> через задницу (иными словами, студентам это будет либо труднее
> понять, либо при "кустарном" подходе у них останется больше
> сомнений в голове).
У тебя есть хотя бы какие-нибудь основания этому утверждению?
Я утверждаю, что если это способен _самостоятельно_ освоить
десятиклассник, то уж студент-то под руководством преподавателя
это освоит. Тем более, что здесь не ставится задачи освоить
весь курс мехмата в рамках единого неархимедова подхода.
>> Кроме того, не факт, что ТФИ настолько необходима. Я не вижу
>> этой необходимости, если ты видишь --- доказывай.
> Ну ясно, что она не необходима. Хотя бы потому, что
> трансфинитная индукция - это не аксиома,
Я не знаю, на каком курсе её дают математикам,
могут и где-то на четвёртом. Но дело не в этом.
Дело в том, что про аксиому выбора на первых курсах _тоже_
ничего говорят. Так что нет пока оснований говорить, что
она необходима для изложения основ анализа. Если ты ещё
не понял, брошюрка Успенского не предназначена в качестве
учебника. Три раза, Ганс, три раза.
> В давние времена всякие Лейбницы и прочие тоже активно
> пользовались всеми этими бесконечно малыми, правда это всегда
> казалось неким шаманством и порождало кучу сомнений по поводу
> корректности. Потому наверно наука и пошла по пути
> классического анализа, ибо там всё строго обосновано,
> хотя и с использованием бесконечных множеств.
Бесконечные множества и связанные с ними вопросы появились
значительно позже. На полвека примерно.
Блин, ты не знаешь истории собственной науки.
Чудо, когда Коши создавал своё исчисление бесконечно малых,
Кантор ещё не просто не родился, его и в проекте, наверное,
не было.
Так что давай-ка доказывай слова "казалось неким шаманством."
Я тебе не верю.
> Проще сначала узнать хотя бы, что такое скорость, ускорение,
> законы ньютона и т.п., а потом уже термодинамику мучить.
И скорость, и ускорение, и другие законы Ньютон сформулировал
без помощи Коши. Тоже где-то на полвека раньше.
Хм, действительно. Почти ровно на полвека раньше. Однако.
---
"Математика --- лучший способ водить самого себя за нос."

Dallas

У тебя есть хотя бы какие-нибудь основания этому утверждению?
Я утверждаю, что если это способен _самостоятельно_ освоить
десятиклассник, то уж студент-то под руководством преподавателя
это освоит.
Ну, это смотря какой десятиклассник, и сколько он трудов потратит.
Дело в том, что про аксиому выбора на первых курсах _тоже_
ничего говорят. Так что нет пока оснований говорить, что
она необходима для изложения основ анализа.
Обычный матан строится без аксиомы выбора. А вот твой её требует.
Если ты ещё
не понял, брошюрка Успенского не предназначена в качестве
учебника. Три раза, Ганс, три раза.
дай другую
Бесконечные множества и связанные с ними вопросы появились
значительно позже. На полвека примерно.
Блин, ты не знаешь истории собственной науки.
Чудо, когда Коши создавал своё исчисление бесконечно малых,
Кантор ещё не просто не родился, его и в проекте, наверное,
не было.
Блин, я где-нибудь упоминал о том, что было раньше а что нет?

Я о том писал, что многие учёные в своих трудах использовали наивное представление о бесконечно малых, что у них же и у других учёных вызывало сомнения.
Так что давай-ка доказывай слова "казалось неким шаманством."
Я тебе не верю.
поищу, если не лень будет

Dallas

Так что давай-ка доказывай слова "казалось неким шаманством."
Я тебе не верю.
Читай по ссылке с 255 страницы:
инет, 7.5 MB

soldatiki

to topicstarter
Ну позвольте не выражаться насчет всей бредовости фразы "пределы - зло в обучении"... Как-то наши великие реформаторы - политики решали вопрос о том, чтобы сократить школьную программу по математике на 25%. Было предложение (не помню, может даже Арнольда) из четырех действий: сложения, вычитания, умножения и деления, которые изучаются сейчас в школе, одно действие, например, деление, исключить. В таком же стиле и предложение "покончить" с пределами. А заменять пределы нестандартным анализом - это менять шило на мыло, причем не в лучшую сторону.
про физику и математику
Серьезные физики, как правило, являются и серьезными математиками. Часто и наоборот. По сути, два различных пути обучения: от частного к общему и от общего к частному, в итоге дают одно - широкое и фундаментальное физико-математическое образование. А "новички" того и другого направления, как правило, не прочь поспорить, что первично: дорога или автомобиль, железо или софт, курица или яйцо и т. д.

spiritmc

>> У тебя есть хотя бы какие-нибудь основания этому утверждению?
>> Я утверждаю, что если это способен _самостоятельно_ освоить
>> десятиклассник, то уж студент-то под руководством преподавателя
>> это освоит.
> Ну, это смотря какой десятиклассник, и сколько он трудов потратит.
Ну, я, например. Немного.
> дай другую
Прям щас кинусь разыскивать.
Нет, это, конечно, интересная тема, только боюсь, слишком
времязатратная. Поставлю-ка в очередь.
> Я о том писал, что многие учёные в своих трудах использовали
> наивное представление о бесконечно малых, что у них же и у
> других учёных вызывало сомнения.
Я не заметил, чтобы это вызывало настолько большие сомнения.
Большинство людей всё равно пользуются наивными представлениями,
и это лишь изредка приводит к ошибкам. В аномальных случаях.
---
...Я работаю антинаучным аферистом...
P.S. Ссылку увидел, стоит в очереди, прибытие ожидается завтра.

natunchik

Дорогой КОНТРА!
1) Понятие бесконечного ряда натуральных чисел интуитивно. Оно было интуитивно ещё в те времена, когда математику только начинали формализовывать. "Для произвольного натурального числа n можно взять число n+1, которое тоже будет натуральным", всё, у тебя получается самый настоящий бесконечный ряд. Бесконечность этого ряда без проблем интуитивно понимается даже младшеклассниками: ты видел хоть одного, который бы при виде алгоритма нахождения наименьшего общего кратного вдруг воскликнул бы, "а если мы не можем умножить эти числа, а если слишком много получится"? Я — нет.
2) Зато я неоднократно принимал экзамены по математике у десятиклассников, которым кто-то что-то когда-то говорил про "бесконечность" как нечто актуально существующее. И они берут свою кривую интуицию этого чего-то и получают фантастически кривую фигню. Более того, неверную. Я, конечно, не исключаю возможности того, что если бы им про неё рассказывали целеустремлённо и строго, то результат был бы другой, но так, как сейчас, всё совершенно однозначно.
3) Если тебе удалось убить свою интуицию натуральных чисел это твои личные проблемы, обобщать их не следует.

spiritmc

Бесконечность натурального ряда понимается, но с этим рядом
не работают как с подчинённым объектом, рассуждений _над_ ним
не производится. То есть, для школьников безразлично, является
ли натуральный ряд множеством или классом в, положим,
вопенковском смысле. Ну, или не осознаётся разница между
финитными и нефинитными суждениями. То, о чём ты говоришь,
это уже "ультрафинитизм."
2. Зато, если я правильно помню, в курсе мат. анализа
разбирается канторово доказательство неравномощности N и 2^N
(ну, или 10^N, если дроби десятичные). Так что один чёрт
происходит уточнение, что есть бесконечность и какими эти
бесконечности бывают. И ничем это не уступает тому уточнению
наивного представления о бесконечно малых и бесконечно больших,
какое наблюдается в "нестандартном" случае.
3. Если ты не различаешь финитные и классические рассуждения,
это, увы, показатель, как ты учил мат. логику, ибо я сомневаюсь,
что этого на занятиях не давали.
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

yurimedvedev

я не знаком с неархимедовым анализом
Аксиома Архимеда — аксиома, первоначально сформулированная для отрезков, заключающаяся в том, что, отложив достаточное число раз меньший из двух заданных отрезков, можно покрыть больший из них. Иначе говоря аксиома Архимеда заключается в отсутствии бесконечно малых величин.
В более современной формулировке она выглядит так:
Для абелевой линейно упорядоченной группы справедлива аксиома Архимеда, если для любых двух элементов a,b > 0 существует натуральное число N такое что Na > b.

Короче, неархимедов анализ, это обычный матан, как у коши и пр., именно тот, в котором используются бесконечно малые... Если я ничего не путаю.
Ты уверен, что неознакомление студента-математика с
неархимедовым анализом не приводит к худшим последствиям,
чем чуть более позднее знакомство с фундаментальными
последовательностями?

А вот использование трех "не" подряд в одном предложении сильно затрудняет его понимание. Можно даже сказать, автор искусственно пытается показать наличие глубины там, где ее нет.

natunchik

Бесконечность натурального ряда понимается, но с этим рядом
не работают как с подчинённым объектом, рассуждений _над_ ним
не производится. То есть, для школьников безразлично
---
О да, именно так всё и есть! В _стандартном_ матанализе никто никогда не работает с бесконечным множеством (натуральных чисел, например) как с единым объектом. Как с объектом вообще, даже. Потому что это контринтуитивно. Потому что сказать, что для чётного n есть следующее n+1, и оно нечётное — это интуитивно понятно, а взять их все как один объект и попытаться что-то с ними сделать — это непонятно, это нужно формализм вводить и долго с ним трахацо, пока он не станет непротиворечивым хотя бы на второй взгляд. Там нет бесконечности как чего-то существующего, как чего-то, с чем можно хоть что-нибудь сделать.
А наслушавшиеся херни про "бесконечность" школьники действительно не понимают, почему это им нельзя вот так вот взять это всё сразу и своей говённой интуицией проинтуичить насквозь. Они любят сказать "возьмём бесконечно малую величину и прибавим сюда, и получим то же самое, значит, функция непрерывна", что оказывается фигнёй чуть более чем в половине случаев, потому что у них нет соответствующей интуиции. А если заставить их всё-таки проговорить все эти "для любого эпсилон найдётся дельта", с как бы бесконечным рядом натуральных чисел, для которого в каждый конкретный момент берётся вполне конечный кусок, тогда они всё понимают правильно.
В стандартном анализе бесконечности, как объекта, нет. Она появляется из натуральных чисел и старательно обходится всё время. Что, кстати, вполне естественно, если вспомнить, что Кантор охуел с того, что квадрат равномощен отрезку уже после того, как анализ сформировался практически в современном виде. Видишь ли, у человека нет подходящей интуиции хотя бы для перехода к алеф-нуль (то есть к первой настоящей рукотворной бесконечности что, кстати, замечательно иллюстрируется тем, что нет согласия относительно того, где именно находится точка перехода.
Поэтому. Некто может придумать формализм бесконечно малых и больших. Он может перефигачить анализ на него. Но интуитивной понятностью результат обладать не будет, более того, ффтыкание в результат может серьёзно повредить моск, сделав крайне тяжёлым ффтыкание в следующие формализмы, где "бесконечно большое" определяется совсем не так (переход от вещественных к комплексным как пример).

_Elena

От Арнольда слышал такую байку: Понтрягин как-то высказал своё несогласие с подходом Зельдовича, на что последний ответил, мол, в реальности, Лев Семёнович, мир квантовый, и проводить измерения, к примеру, длины с точностью больше 10^{-34}м бессмысленно...
В своём учебнике Понтрягин во введении написал: "Некоторые физики считают, что можно построить теорию дифференциальных уравнений, не используя понятия предела..." (За точность цитат никоим образом не ручаюсь.) А Зельдович потом очень обижался, что его имя не было названо (ведь получилось, что у него чуть ли не украли идею). Вот так.
А название топика не очень понятно. Обучение кого - школьников, студентов-нематематиков?

_Elena

Было предложение (не помню, может даже Арнольда )
Странная у тебя какая-то инфа. Давай ссылку или не говори больше таких глупостей.
Прошу прощения за резкий тон.

_Elena

Тут, кажется бурная дискуссия, ничего, что я влезу?)
Моё мнение: с бесконечными множествами, в том числе довольно сложными, при обучении сталкиваются рано и при изучении вполне естественных объектов. Хорошо помню удивление и даже замешательство, когда узнал в начальной школе, что на прямой много точек, помимо рациональных. Большие множества идут и дальше, никак от них не избавиться (решето Эратосфена, скажем, это пример громоздкого построения множества как дополнения к объединению бесконечного семейства бесконечных же множеств. И ничего и вообще они весьма естественны.
Примерно такое же недоумение я испытал, став значительно старше и столкнувшись с идеей полного упорядочения бесконечного множества (а было это не раньше 9 класса, по-моему). Можно ещё представить бесконечность, бесконечность+1, ... 2*бесконечность, 2*бесконечность+1..., однако с континуумом уже напряжно).
Между прочим, возможность вполне упорядочить любое множество равносильна аксиоме выбора (при согласии с остальными аксиомами и тот факт, что никто из участников обсуждения не указал на ошибку:
трансфинитная индукция - это не аксиома, возможность её использования выводится из стандартных аксиом теории множеств даже без аксиомы выбора
— уже говорит о возможных логических сложностях).
Бесконечно же большие числа, как мне кажется, не столь естественны. Хотя бы потому, что каждый сталкивался с проблемой:1/0 = (2*1)/(2*0) = 2/0, получается лажа, а не числа. Я считаю, что это ещё одна проблема изучения нестандартного анализа. (С другой стороны, верно и то, что у многих возникает желание рассмотреть нечто вроде 00)1 и сказать, что 09) != 1.)
Да и к тому же, на фиг не нужны эти гиперчисла для нормальных людей. Самое главное - это идея рассмотрения малых приращений и принцип "в малом всё линейно", и незачем наводить тень из чисел на плетень из нечисел, тем более что обобщение на многомерный случай и, ещё важнее, на многообразия нестандартного подхода выглядит зловеще (в Успенском, кажется, этого не было, больше я немного слышал про это дело - могу заблуждаться, но на слово не поверю).
На первом занятии по физике в 9 классе нам ввели производную через "а эта величина ещё меньше, на неё можно забить; ... ... она, как говорят, бесконечно малая более высокого порядка", и мы усвоили это понятие достаточно хорошо, хотя ещё долго обозначали производную как дельта ф по дельта икс, а не "д". Некоторым типа Арнольда так же объясняли производную в дошкольном возрасте.
Построить в школе анализ полностью строго всё равно вряд ли получится (у Шеня, кажется, есть хорошая кника на эту тему, вроде "Строгость и математика в школе" так что важнее донести основные идеи (возможно, показав на примере, что строгость всё-таки нужна, загнать ученика в тщательно подготовленную ловушку).
А если таки строить, то максимально понятно, скажем, "непрерывная функция - это не имеющая скачков (рисунок то есть переводящая близкие точки в близкие, а оказывается, это можно красиво сформулировать как прообраз открытого множества открыт, и в такие-то годы ХХ века люди поняли, что эту конструкцию полезно обобщить до понятия топологического пространства". От непрерывности до предела - один шаг, и здесь понятие производной обретает ясное и проверяемое описание...
Не вижу, зачем здесь вводить флюксии - особенно (повторю) с расчётом на обобщение на многообразия, последнее же понятие, разумеется, должен знать каждый.
Нематематиков можно калечить флюксиями и флуэнтами, однако смысла в этом нет, одна жестокость. Предвижу возражения: ты просто привык думать, как тебя учили, - на это см выше.
С другой стороны, не вижу ничего плохого в том, чтобы дать сильному в алгебре ученику пример двойной точки, где бесконечно малые есть. Но, думаю, это не обязательно.
Возможно, я просто плохо знаком с нестандартным анализом - тогда предложите мне альтернативный сюжет появления и строгого определения производной.
Да, как нередко заявляет В. И. Арнольд, студенты тупее школьников, поэтому всё вышесказанное относится и к первым.
А что отдельные препы объясняют отдельным школьникам (уже усвоившим основную программу) нестандартный анализ, ещё ни о чём не говорит. Про топологические пространства преподы НМУ рассказывают куда чаще).

Dallas

Между прочим, возможность вполне упорядочить любое множество равносильна аксиоме выбора (при согласии с остальными аксиомами и тот факт, что никто из участников обсуждения не указал на ошибку:
В ответ на:
трансфинитная индукция - это не аксиома, возможность её использования выводится из стандартных аксиом теории множеств даже без аксиомы выбора
— уже говорит о возможных логических сложностях).
Возможность вполне упорядочивать множества обычно называют теоремой Цермело, а не принципом трансфинитной индукции.
А формулировка самого принципа есть например тут , для его обоснования ну может быть в какой-то формулировке в худшем случае потребуется счётная аксиома выбора.

muk78

 Включусь в дискуссию, т.к. разбирался в вопросе.
Я тоже счтиатю, что теория пределов - зло в обучении(не в науке конечно) и полностью согласен с Зельдовичем. Я, кстати, покупал (для коллекции) книгу Выгодского "исчисление бесконечно малых" 1933 года(раритет где предлагается первое знакомство с анализом без пределов, но с теорией бесконечно-малых. Очень легко и интересно читается. Т.е. все эти вопросы уже были с 1933 года, т.к. книга предлагась в кач-ве альтернативы существующим. Но видимо "на верху" кто-то принял другое решение по обеспечению учебниками и пошло-поехало. Кстати, у Фихтенгольца в учебнике есть параграф где говорится, что на самом деле сначала появился анализ, потом теория пределов(для обоснования анализа а потом теория вещ. числа(для обоснования теории пределов но книги пишутся наоборот, но это не знвчит, что так надо преподавать. У Кудрявцева тоже в матане в предисловии говорится, что при первом прочтении можно пропустить первые 2 главы(пределы и вещ. числа). Ведь изучать матан с теории вещ.чисел, то же что физику с квантовой механики. И только в образовании и самое обидное, что и на мех-мате делается тоже так же. С первого семестра преподы толдонят как пономари свои лекции под диктовку(Чубариков напр. а какой-нибудьСолодов даст 100 примерчиков на дом по списку. Я сам помню экзамены по матану на мех-мате(кто не по шпорам) - просто выучивались теоремы(как стихи) А дело в том, что так проще - отчитал и все, не надо ничего обьяснять.
  Интересное дело обстоит и с учебниками.
Напр, Зельдович написал свой учебник наверно сам, плохо хорошо,но старался, думал, писал. А посмотрите новые учебники. Очевидно, что Садовничий Чубариков переписан с Ильин Садовничий Сендов(я проверял Ильин Садовничий Сендов с Ильин Позняк(проверял а Ильин Позняк из культовой зарубежной литературы начала века например Курант Гильберт. Учебник Куранта по матану очень смахивает на современные, там есть как нестрогие док-ва(хотя писал его ученик Гильберта) так и строгие, и когда я прочитал, я окончательно понял, что погоня за строгостью - это профанация.
Кстати, кто -то в дискуссии упомянул интегралы Феймана. Так вот, Фейман известен как один
из новаторов в образовании и он совместно с Лейтоном и Сендсом(его единомышленники) прочитал легендарные лекции по физике(фейнмановские где физика изложена не по дурной традиции школьных учебников(в физике аналогичные проблемы). Кстати, он там на пальцах выводит формулу Эйлера(для комплексной экспоненты).
По сути
1.Никто не отказывается от теории пределов, просто начинать изучать анализ с теории пределов и вещ.чисел - неправильно, ну давайте еще с теории множеств начнем или вообще с мат.логики. Еще Арнольд писал, что его дядя обьяснил ему матан за пол часа, поэтому ему не недо было ходить 2 года на лекции по матану.
2. Кому требуется большая строгость, тот пусть читает строгие док-ва по книгам(или до них сами
дойдут).
3. Погоня за строгостью приводит к потере интереса к предмету, поэтому многие ненавидят
физику и математику, даже те кто учатся по этой специальности(это норамально).
4. Аналогичная ситуация обстоит по всем предметам, ведь все зависит от преподов, а таких профи как Зельдович, Тамм, Фейнман, Курант и т.д. очень-очень мало, да и в российском образовании вряд ли в ближ. время появятся(зато у нас появятся новые ученбные корпуса и новые факультеты).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: