Некомпактная эргодичная система с конечной инв мерой

soldatiki

Требуется привести пример ЭС с конечной инвариантной мерой. Не обязательно на многообразии, можно и в бесконечномерном пространстве.
Для справки: динамическая система — это непрерывная полугруппа преобразований на многообразии или в веркторном пространстве. Система с инвариантной мерой эргодична, если инвариантными относительно действия системы на функции (берем функцию и "сдвигаем" ее аргумент полугруппой) будут только постоянные функции. Инвариантной мерой называется мера, переходящая в себя под действием системы (действие на меры определяется аналогично действию на функции или даже как сопряженное преобразование действию на функции).

491593

ну например обычный поток на прямой: 'x' переходит в 'x+t'

soldatiki

Инвариантная мера должна быть конечной, а не сигма-конечной. Сорри, забыл уточнить.

lena1978

тупой вопрос: а если мера нулевая?

491593

с ходу тогда только геодезический поток на модулярной поверхности приходит в голову.
если что нить другое вспомню - напишу.
ну, то есть ответ - да, бывают и с конечной мерой.

491593

Eсли не требуется никаких ограничений на разумность меры, то еще проще - берешь любое векторное поле на некомпактном многообразии с неподвижной точкой. Дельта-мера с носителем в этой точке подходит.

491593

собственно ответ содержится в вопросе :smirk: :p

svetik5623190

Дельта-мера с носителем в этой точке подходит.
Полагаю, ему хочется меру без атомов.
Вероятно, Андрей () в качестве полугруппы хотел бы видеть полугруппу операторов на каком-нибудь бесконечномерном топологическом векторном пространстве, а в качестве меры - что-то в духе меры Винера на этом ТВП.
Это в качестве отправной точки для дальнейших обобщений/видоизменений.
Андрей, ты это имел в виду?

491593

я не знаю что он имел в виду, не телепат.
а вот что написано - это группа преобразований на многообразии.

491593

нет, относительно Лебеговской меры твоя система будет неэргодична.
относительно дельта-меры в нуле - будет эргодична.

491593

потому что ты как раз построил инвариантную функцию, отличную от константы, которая останется таковой, если выкинуть любое множество нулевой меры Лебега.
Если же взять дельта-меру в нуле, то можно выкинуть все, кроме нуля ( выкинули множество меру ноль) и останутся очевидно только константы, как инвариантные функции.
Короче если интересно - Корнфельд, Синай, Фомин, "Эргодическая теория" , все элементарно и доступно обьяснено в деталях.

soldatiki

тупой вопрос: а если мера нулевая?
Конечно же подразумевалась ненулевая мера. Спасибо.

soldatiki

Eсли не требуется никаких ограничений на разумность меры, то еще проще - берешь любое векторное поле на некомпактном многообразии с неподвижной точкой. Дельта-мера с носителем в этой точке подходит.
Но тогда система не будет эргодичной: функция-индикатор неподвижного множества (точки) будет инвариантна.

soldatiki

относительно дельта-меры в нуле - будет эргодична
Ага, значит, в определении эргодичности обязательно должна фигурировать мера, так? А эта мера обязательно должна быть инвариантной относительно потока? Мне казалось, что эргодичность можно определить не прибегая к мере на многообразии, просто глядя на поточечную инвариантность функций.
За ссылку — спасибо.

soldatiki

Собственно, в конечном счёте требуется привести контр-пример к одному утверждению, по своей форме близкому к эргодической теореме (детали потом опишу, если будет интересно). Для этого не мешало бы представить себе контр-пример к самой эргодической теореме. А именно: когда функция не является ограниченной (в ЭТ она должна быть ограничена и для неё среднее по пространству не совпадает с пределом средних по времени. Причём, оба значения должны быть конечными, но различными!

491593

в ЭТ она должна быть ограничена
нет

491593

Дело вот в чем - у тебя небольшая каша в голове относительно понятия эргодичности и эргодической теоремы и через форум мне несколько затруднительно тебе помочь.
ну то есть ты не просто в чем то ошибаешься, а в целом определенно ошибочное понимание " эргодической идеологии".
Я бы посоветовал не спеша в википедии посмотреть, что такое эргодичность, гладкие меры, эргодическая теорема, потоки на поверхностях. Это вполне наглядные концепции и много времени не отнимет, если интересно.

soldatiki

Ок, так и сделаю. Здесь далее появится четкая формулировка вопроса.
P.S. Сории за кашу. Просто трудно переключаться на учебу в разгар рабочего дня :)

491593

детали потом опишу, если будет интересно
интересно, только приведи утверждение ровно в той форме, в какой тебе его дали, без деталей от себя.
почему - см пост выше :)

a7137928

А эта мера обязательно должна быть инвариантной относительно потока
Ну вообще можно и не делать её инвариантной. Так иногда делают.

a7137928

Но тогда система не будет эргодичной: функция-индикатор неподвижного множества (точки) будет инвариантна.
Ну тебе же Ле написал выше. Индикатор неподвижной точки - это функция, не являющаяся инвариантной. Но её модификация - константа 1- инвариантна и отличается от неё лишь на множестве нулевой дельта-меры.

soldatiki

Ну да, но это если рассматривать функции с точностью до п. в. Я просто не знаю, как делается "на самом деле".
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: