Производная функции нескольких переменных

vvella

Скажите, пожалуйста, как понимать следующую производную функции нескольких переменных f(x,y):

Я думаю, что если , то
Но что, если f(x,y) явно не зависит от x/y
Спасибо!
P.S. Простите, не получается нормально вставить формулы

muza71

сделать замену x=ty и диффиринцировать по t?

vvella

Но в функции останутся части с "y-ками", как их по t дифференцировать?

zombzone

Насколько понимаю, \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial g}\frac{\partial g}{\partial x}
\frac{\partial f}{\partial g}=\frac{\partial f}{\partial x}/\frac{\partial g}{\partial x}
И сюда подставляем g=x/y.
(хз как нормально вставлять формулы)

vvella

Да, я думал о таком способе, но будут ли ответы, получаемые при дифференцировании по x и по y совпадать. Наверное, это должно выполняться для каких-то определенных функций, но не для всех.

muza71

по моему так : мы ищем частную производную по t сложной функции f(ty, y)
f't = f'x * x't + f'y * y't = f'x * y

zombzone

Конечно, если f(x,y)=f(x/y то результаты будут совпадать, в противном случае результат по-любому будет зависеть от того, какие переменные остаются неизменными при взятии частной производной производной. Т.е. если к примеру f(x,y)=x^2/y, то дифференцирование её как функции x/y и x даст x, а как функции x/y и y - 2(x/y)*y.

stm8853410

Как я понимаю ситуацию.
Пусть есть f(x,y) = x + y.
Если есть две функции, якобиан которых в точке не зануляется, то эта пара функций может рассматриваться как новая пара локальных координат.
Например, можно рассмотреть r = x/y и s = x при x,y>0.
Тогда f = s + s/r.
Upd. Не заметил предыдущий пост, там почти то же самое.
Частная производная по координате r равняется -s/r^2, в старых координатах -y^2/x.
Но можно было взять пару функций r=x/y и t=y.
Тогда f=rt + t, частная производная по t равняется r. В старых координатах x/y.
То есть ответ зависит от того, какую функцию выберешь второй.
В случае же, когда f явно выражается через x/y, от выбора второй функции ничего не зависит.
В любом случае, интересен контекст.
UPD. Не заметил предыдущий пост, там почти то же самое.

muza71

Тогда f=rt + t, частная производная по t равняется r. В старых координатах x/y.
почему производная по t а не по r?
вообще меня смущает неоднозначность. чем объяснить ее появление?

stm8853410

почему производная по t а не по r?
это я невнимательно написал. Производная по r равна t, да.
Неоднозначность возникает оттого же, отчего неоднозначность в координатах разложения по базису.
Пусть есть двумерные вектора. e_1 = (1,0) и e_2 = (0,1).
Раскладываем вектор (5,3) = 5 e_1 + 3 e_2.
А теперь представим, что вместо e_2 в базисе вектор e_3 = (1,1).
Тогда (5,3) = 2 e_1 + 3 e_3.

scorobei42ru

а чем объяснить, что в обычном линейном пространстве например первая координата вектора зависит от выбора всех базисных векторов, а не только первого? никаких ограничений неортогональности же не предполагается

shpanenoc

Ну так первая координата - это проекция исходного вектора на 1-мерное п/п, заданное первым базисным вектором, параллельно гиперплоскости, заданной остальными базисными векторами.
Понятное дело, что если остальные векторы поменялись, то поменяется гиперплоскость, а значит, и проекция.

stm8853410

Очевидно, просто проводит аналогию и оформляет её в виде риторического вопроса.

shpanenoc

Пардон, господа, я облажался.

muza71

не понятно в чем смысл взятия производной если результат зависит от выбора замены координат. можно сделать любую замену с учетом якобина преобразования получить еще один ответ.

griz_a

Смысла взятия частной производной по переменной при неопределенных остальных переменных нет, конечно же.
Поэтому никто и не берет частные производные функции до того, как задаст переменные, от которых она зависит

broroman

Но что, если f(x,y) явно не зависит от x/y
тогда задача не ставится в задачник.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: