[мм-4]нужна помощь - ОПУ - задачи

phantom

нужна помощь - завтра до вечера решить и объяснить мне 4 задачи за бабло/пиво...
1) простейшая задача вар. исч. - решение найдено - нужно доказать что x явл экстремумом:
Int[1; e](2(t(x')^2+x')^2)*x) dt +3x^2(1)-x^2(e)-4x(e)->extr
2) задача Больца - нужно доказать сильн. и слабый экстремум, используя условия 2го порядка (Лежандра, Якоби Вейерштрасса) - аналогично - решение найдено
Int[0; 1]x^2)*(x'^2dt-> extr x(0)=1, x(1)=sqrt(2)
3) задача с подвижн. концами:
Int[0; T]sqrt(1+x'^2/x)dt->extr x(0)=1, T-x(T)=1
4) задача оптимального управления
Int[0; T](x'^2+x)dt->extr |x'|<=1, x(0)=0, x(T)=7
Почти все задачи из этих есть в задачнике "Оптимизация" Галеев- соответственно есть ответы к ним.

griz_a

 
Int[1; e](2(t(x')^2+x')^2)*x) dt

Скобок закрывающих маловато
[math]$\int_0^1x^2)*(\frac{dx}{dt}^2dt=I(x)$[/math]
Сделаем замену y=x^2
Тогда задача сведена к нахождению экстремума
[math]$\int_0^1(\frac{dy}{dt}^2)dt/4=I(y)$, $y(0)=1$,$y(1)=2$[/math]
Теперь пусть [math]$y_1(t)$[/math] - наше решение.
Проверка выглядит так:
Пусть y(t) - любое, представим его как [math]$y(t)=y_1(t)+\delta(t)$,$\delta(0)=\delta(1)=0$[/math]
Подставляем
[math]$I(y)=\int_0^1(\frac{dy_1}{dt}^2+\frac{d\delta}{dt}^2+2\frac{d\delta}{dt}\frac{dy_1}{dt})dt/4=I(y_1)+\int_0^1(\frac{d\delta}{dt}^2)dt/4+\int_0^1 (\frac{d\delta}{dt}\frac{dy_1}{dt}dt)/2>=I(y_1)+\int_0^1 (\frac{d\delta}{dt}\frac{dy_1}{dt}dt)/2=I(y_1)-(\int_0^1 \delta\frac{d^2 y_1}{dt^2}dt+\delta(1)\frac{dy1}{dt}(1)-\delta(0)\frac{dy1}{dt}(0/2=I(y_1)$[/math]
Так нашли минимум.
А максимум - бесконечность, потому что можно взять гладкую, быстро возрастающую функцию, потом константу, потом быстроубывающую и по таким I(y) будет неограничено возрастать

phantom

up! 4
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: