Линал, 2 задачки

philvoznes

К экзамену дали список из 13 задач и парочка не решается что-то...
кому не лень вспомнить 1 курс линала просьба помочь в ближайшие дни, заранее спасибо)
1. Известно, что А = А* > B = B* >= 0. Докажите, что A^(1/2) > B^(1/2).
2. Пусть А = А^T из C^(nxn). Докажите, что матрица А обладает сингулярным разложением А = V$U* с дополнительным условием U* = V^T.
прим.: $ - значек суммы, A^T - А транспонированная, C^(nxn) - мн-во комплексных матриц nxn

seregaohota

Что-то похожее на 2 задачу имхо есть в книжке Рудин что-то там линейная алгебра или типа того.
Если бы была действительная матрица, то берём ортонормированный базис из собственных векторов (легко доказать, что он есть) [math]$v_1,\dots,v_n$[/math], и так как [math]$Av_i = \lambda_i v_i$[/math], [math]$v_i^T v_j = \delta_{ij}$[/math]
ставим их по столбикам получим матрицу [math]$V$[/math] и [math]$AV = V \Lambda$[/math], домножая справа на [math]$V^T$[/math] в силу ортонормированности [math]$V^TV = VV^T = I$[/math] - единичная матрица и [math]$A = V \Lambda V^T$[/math], где [math]$\Lambda = diag\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$[/math] наверно твой "значок суммы" и есть матрица [math]$\Sigma = \Lambda$[/math]
В этом направленнии копать надо по-моему.
В первую задачу не въезжаю, что такое A>B? Что A-B положительно-определённая?

philvoznes

За идею в первой спасибо
В первую задачу не въезжаю, что такое A>B? Что A-B положительно-определённая?
Да, положительно-определённая, но 2я уже решилась)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: