[вопрос] Пара простых диф. уравнений с ф-ей Хевисайда

Andrey56

При решении некоторой задачи прихожу к уравнениям следующего вида:
 [math]\[ \frac{\partial{}f_1(x,t)}{\partial{}t}=\beta_1f_2(x,t)\theta(x\][/math]
 [math]\[ \frac{\partial{}f_2(x,t)}{\partial{}t}=\beta_2f_1(x,t)\theta(x)\][/math]
с начальным условием при [math]$ f_j(x,0)=f_{j0}=\text{const}$[/math]. Здесь [math]$\theta(x)$[/math] - ступенчатая функция Хевисайда.
Для решения уравнений использую фурье-разложение по переменной [math]$x$[/math];
 [math]\[f_j(x,t)=\int_{-\infty}^{+\infty}F_j(q,t)e^{iqx}dq.\][/math]
В результате прихожу к уравнениям для фурье-амплитуд [math]$F_j(q,t)$[/math] в правой части которых вместо произведений функции Хевисайда и неизвестной функции - свертка фурье-спектра ф-ии Хевисайда с соответствующими фурье-амплитудами. Правая часть имеет вид:
 [math]\[\beta_l\int_{-\infty}^{+\infty}\Theta(q-q')F_j(q',t)dq'\qquad (l\ne{}j).\][/math]
Подставляю Фурье-образ ф-ии Хевисайда
 [math]\[\Theta(q)=\frac{1}{2}\delta(q)+\frac{1}{2\pi{}iq}\][/math]
в уравнения для фурье-амплитуд и получаю правые части в виде
 [math]\[\beta_l{}F_j(q,t).\][/math]
где [math]$1/2\beta_l$[/math] берётся за счёт дельта-функции, а ещё [math]$1/2\beta_l$[/math] - из известного соотношения для интеграла в смысле главного значения:
 [math]\[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{F_j(q',t)}{q-q'}dq'=i\pi{}F_j(q,t).\][/math]
Смущает следующее: Если бы ф-я Хевисайда в изначальных уравнениях отсутствовала, то мы бы пришли точно к таким же уравнениям для фурье-амплитуд. Очевидно, что такого не может быть, т.к. задача обладает ассиметрией относительно [math]$x=0.$[/math]
В чём моя ошибка?

Vlad128

бери сразу просто однотороннее преобразование фурье (сразу образ f \theta в левой части тоже бери f'\theta, тебе же все равно x < 0 неинтересны (на них по сути нету дифура). Вообще, лапласа тут берут, как раз одностороннего да и все. Ошибка пока не могу понять где, может быть, в использовании VP (разве так можно легко обращаться здесь с Фурье?)
И вообще, что-то неясно, у тебя x — это просто параметр, при фиксированном x у тебя просто линейная система, при x < 0 решения константа, при x > 0 получается нормальное уравнение, но f(x,t) = g(t) при x > 0 (т.к. начальное условие не зависит от x). Короче, странно это все :confused:

Andrey56

бери сразу просто однотороннее преобразование фурье (сразу образ f \theta в левой части тоже бери f'\theta, тебе же все равно x < 0 неинтересны (на них по сути нету дифура). Вообще, лапласа тут берут, как раз одностороннего да и все. Ошибка пока не могу понять где, может быть, в использовании VP (разве так можно легко обращаться здесь с Фурье?)
для x<0 диф. ур. известный, просто два уравнения перестают быть связаны друг с другом.
в этой области решение зависит от амплитуды на границе x=0. Базовые уравнения несколько длиннее записанных - в левой части есть ещё линейные по [math]$F_j$[/math] члены.
Вся задача как раз и задумывается, чтобы узнать решение в области x<0.

Vlad128

для x<0 диф. ур. известный, просто два уравнения перестают быть связаны друг с другом.
в этой области решение зависит от амплитуды на границе x=0. Базовые уравнения несколько длиннее записанных - в левой части есть ещё линейные по [math]$F_j$[/math] члены.
ну все правильно, чем лаплас-то не устраивает односторонний? вроде как раз то, что доктор прописал :confused: как раз будут вылезать значения f на границе.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: