Решение системы дифф. уравнений

Sensor4ik

Система такая:
dK[t]/dt = k2*A[t]*P[t] - k1*K[t];
dP[t]/dt = 2k1*K[t] - k2*A[t]*P[t];
dA[t]/dt = -k2*A[t]*P[t].
Для любых t выполняется равенство A0 + P0 = 2K[t] + A[t] + P[t]
В начальный момент времени t=0 A[0]=A0; P[0]=P0; K[0]=0.
A[t], P[t], K[t] - функции одной переменной t,
A0, P0, k1, k2 - константы.
Возможно ли решить эту систему в аналитическом виде?
P.S. Если не удастся решить в аналитическом виде эту систему, то можно ли хотя бы исследовать функцию P[t] на наличие точек перегиба и касательных в таких точках?

Sergey79

имхо это че то гиперболического типа и не решится, скорее всего.

Revizor

>гиперболического типа
вы о чем? это ж система обыкновенных диффуров
одну неизвестную можно исключить из доп соотношения, потом заменить A и P на A*P и A+P, например, в общем, попреобразовывать придется....

griz_a

 
потом заменить A и P на A*P и A+P, например, в общем, попреобразовывать придется....

Пробовал. Плохо получается
Там производная произведения выражается не очень хорошо.
Я пробовал через A и P-A, но итоговую систему не дорешал

z731a

у меня сводится к нелинейному дифуру:

хз, как он решается

griz_a

Можно без квадратов производной, но все равно неприятно

z731a

если k_2=0, то ничо так

demiurg

Почему в первом уравнении
- k1*K[t]
,
а во втором 2k1*K[t]?
В первом двойку пропустил, вероятно.

vovatroff

Могу только сказать, что если это кинетическая схема для реакции типа A + P <-> 2K, то какая-то странная.

demiurg

Да, k1*K^2 должно быть вместо k1*K. и двойка в первом уравнении перед k2

Sergey79

>гиперболического типа
вы о чем? это ж система обыкновенных диффуров
Я про эффективный потенциал, получаемый при выражении одной из переменных.

vovatroff

Да, похоже.
Забавно, если неправильно составленная
система дифуров вызвала такие бурные
дискуссии.

Sensor4ik

В первом двойку пропустил, вероятно.
Нет, система записана верно.
Кинетическая схема такова: A+P -k2-> K -k1-> 2P.

vovatroff

Ну тогда метод Боденштейна вам в помощь, если хотите решить в аналитике.

Sensor4ik

Не, квазистационар не катит. Ибо соотношение констант может быть любым.

Sensor4ik

Фрау, Плоп, а если взять в качестве переменных U=K+P и А? У меня получается дифур второго порядка, похожий на тот, что привёл Плоп, но без свободного члена:
U'' + k1U' - k2/k1[U'+ k1U - k1(A0+P0)][U'-k1U] = 0 с граничными условиями U(0)=P0, U'(inf)=0. Этот дифур как-нибудь решается аналитически?

griz_a

Наверное, решается, но там есть квадрат первой производной, что не очень хорошо.
Я могу свести другой заменой к уравнению, где нет степеней производных выше первой, но там и коэффициенты экспоненциальные

Sensor4ik

А Вы не могли бы его здесь выложить, я попытаюсь подогнать его к какому-нибудь решаемому виду...

griz_a

Отбрасываем уравнение на K, переходим к L=P-A и A
c=A0+P0
dL/dt=c*k1-2A*k1-L*k1
dA/dt=-k2*A*(A+L)
Теперь B=exp{k1*t}*(L-с)
dL/dt=dB/dt*exp{k1*t}-k1*L
D=lnA
dA/dt=dD/dt*A
Имеем
dB/dt*exp{k1*t}=-2exp{D}*k1
dD/dt=-k2*(exp{D}+c+B*exp{-k1*t})
Хотя похоже сведется все равно с квадратом

vovatroff

P.S. Если не удастся решить в аналитическом виде эту систему, то можно ли хотя бы исследовать функцию P[t] на наличие точек перегиба и касательных в таких точках?
У меня есть ощущение, что система в элементарных функциях не решается.
Но для качественного анализа может сгодиться метод фазовых портретов.
Во-первых, вы можете поискать стационарные точки P'=0, K'=0, A'=0 и исследовать их
характер.
Во-вторых, что касается точек перегиба P(t) - сосчитайте по уравнению для P' вторую
производную P'' и приравняйте нулю. Выразите производные через концентрации по своим уравнениям. Получится соотношение между A(t P(t) и K(t). Оно определит поверхность в фазовом пространстве вашей системы. Кроме того, в фазовом пространстве есть плоскость, отвечающая закону сохранения A0 + P0 = 2K[t] + A[t] + P[t]. Траектории всех решений с заданными начальными концентрациями лежат в этой плоскости, и могут пересекать поверхность P''=0 в точках
на пересечении плоскости с поверхностью. Так вы сможете описать все точки перегиба
хотя бы графически.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: