Помогите абитуриенту решить задачу по математике

vladimir13

Выпуклый четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Биссектрисы углов A и В пересекаются в точке E, лежащей на стороне CD; BC=1, СD=m. Найти отношение площадей треугольников BCE и ADE.

11111galina

Классная задача, но абитуриенты сами должны уметь такие решать =)

assasin

У меня получилось S(ADE):S(BCE)=m-1. Судя по ответу, должно существовать красивое решение, которое я не могу придумать. Вот моё решение.
Обозначим: CE=x, BE=y, AE=z, DE=m-x, углы DAE=EAB=alpha, ABE=EBC=beta ("обозначай и властвуй!") Пишем теорему синусов для треугольников CBE, ADE, ABE (у них все углы легко выражёвываются через alpha и beta.) Из них имеем:
y=x*sin(2*alpha)/sin(beta z=y*sin(beta)/sin(alpha)=x*sin(2*alpha)/sin(alpha m-x=z*sin(alpha)/sin(2*beta)=x*sin(2*alpha)/sin(2*beta). Кроме того, из теоремы синусов для BCE: x=sin(beta)/sin(2*alpha-beta). Подставляя в m-x=..., имеем ур-ие на alpha и beta, которое обзовём (1).
S(ADE)=.5*z*(m-x)*sin(2*beta-alpha S(BCE)=.5*x*y*sin(2*alpha-beta). Делим и получаем:
sin(2*beta-alpha)*cos(alpha)/[sin(2*alpha-beta)*cos(beta)]. Оказывается, это равно m-1, что эквивалентно (1).
Решение громоздкое, но енто - первое, что пришло в голову. Надеюсь, очепяток нету.
З.Ы. и ошибок тоже

vladimir13

Разобрался в решении! Большое спасибо за помощь!
Три дня не мог решить

vladimir13

У меня получались лишь некоторые частные случаи.
1) Четырёхугольник ABCD - прямоугольник (со сторонами 1 и 2) удовлетворяет условию; отношение площадей = 1 = m-1, так как m=2.
2) ABCD - равнобокая трапеция, AB=CD=m. Точка E равноудалена от AB, BC и AD, так как лежит на пересечении двух биссектрисс. Поэтому, отношение площадей равно AD, АD=x. Точка E - середина CD из равенства соотв. прямоуг треугольников по катету и острому углу; проведём среднюю линию в трапеции EM. EM=(x+1)/2=m/2, так как EM - медиана в прямоуг. треугольнике BEC, опущенная на гипотенузу длины m. -> x=m-1
3) Случай равнобокой трапеции с другой парой оснований несложный: получается, что трапеция разбивается на три равностор. треуголиника со стороной 1. Отношение площадей равно 1 = m-1, т.к. m=2.
4) Четырёхугольник ABCD ни трапеция, ни прямоугольник. Этот общий случай не получался.
Случаи 1) - 4) исчерпывают все возможные варианты.

vladimir13

М.б., можно доказать, что случай 4) невозможен?

zindpi

почему невозможен? берёшь почти любые alpha и beta и рисуешь.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: