О растяжении эспандера

Elena12345

Во флуде в теме про флокал на башорге подкинули вот это видео:



Как выглядит зависимость экспансии э[к]спандера от частоты вращения? Вроде бы, похоже на школьно-олимпиадную физику, не правда ли?
Я попытался применить свои затухшие скиллы, и у меня получилось странное:
[math]$R = \frac{R_0}{1 - \frac{\omega^2 M}{8\pi^2 k}}$[/math], где M — масса, k — коэффициент упругости, omega — частота вращения (рад/с R — радиус.
Т.е. как будто бы есть некий критический rpm, при котором экспансия стремится к бесконечности, а для уширения стограммового куска резины в два раза нужно развить порядка 10 тысяч оборотов в секунду! По причине полной трешовости результата свои выкладки мне приводить смысла нет.
А как строится нормальное решение?

Boris

Такая задача была на физфаковских госах.
Твой ответ похож на верный. Только ты двойку где-то потерял:
 [math]$R=\frac{R_0}{1-\frac{M\omega^2}{4\pi^2 k}}$[/math].
Видимо, корень зла в предположениях:
во-первых, чтобы получилась такая формула, кольцо должно быть тонким,
во-вторых, при любом удлинении должен продолжать работать закон Гука.
Можно попробовать по-честному решить линейную задачу теории упругости для толстого кольца.
Если не поможет — добавить нелинейность.

sashok01

ну как. Сначала реши задачу теории упругости для расширения однородного тора (или кольца (т.е. цилиндра изнутри. Если для кольца (цилиндра то есть так называемая задача Ламе (http://distance.net.ua/Russia/Teoruprug/lekciya/teorupr/Urok22.htm). В формулу для внутренних и внешних напряжений подставь выражение центробежной силы через нужные тебе переменные (что-то вроде m Rw^2) . Ну это грубо, так как есть еще и инерционные силы, которые действуют не только на границах кольца, но и внутри - думаю, ими можно пренебречь
П.с. резина вроде как достаточно линейный материал в широком диапазоне. Нелинейность пока учитывать не нужно

Boris

Не, пренебрегать внутренними напряжениями не катит — решение совсем другое получается.
Рассмотрим для простоты бесконечную вращающуюся трубу с внутренним радиусом [math]$r_1$ [/math] и внешним радиусом [math]$r_2$[/math]. В этом случае для радиальной деформации [math]$u_r$[/math] имеем уравнение [см. Ландау, Лифшиц, том 7, задача 5 после параграфа 7]
[math]$\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\frac{d (r u_r)}{dr}\right) = -A r$[/math]
где
[math]$A = \frac{\rho \Omega^2 (1+\sigma1+2\sigma)}{E (1-\sigma)}$[/math],
[math]$\rho$[/math] — плотность, [math]$\Omega$[/math] — угловая скорость вращения, E — модуль Юнга, [math]$\sigma$[/math] — коэффициент Пуассона.
К уравнению добавляем граничные условия при [math]$r=r_1$[/math] и [math]$r=r_2$[/math]. Они имеют вид отсутствия напряжений:
[math]$\sigma_{rr}=\frac{d u_r}{d r}=0$[/math].
Решая уравнение, находим
[math]$u_r = \frac{A \left(-r^4+3 \text{r1}^2 \text{r2}^2+3 r^2 \left(\text{r1}^2+\text{r2}^2\right)\right)}{8 r}$[/math]

Boris

А вообще, все это не помогает.
Задача принципиально нелинейная: в уравнениях теории упругости присутствует два типа нелинейности — порожденная свойствами материала и геометрическая. В данном случае нас интересуют большие деформации, и поэтому без геометрической нелинейности не обойтись.

Elena12345

Да, я действительно потерял двойку, а ещё неправильно пытался подставлять коэффициент упругости. С использованием модуля Юнга то решение (с кучей предположений о линейности) выглядит так:
[math]$R = \frac{R_0}{1 - \frac{\omega^2 R_0 M}{2\pi E S}}$[/math] (где E — модуль Юнга, S — сечение что даёт более похожие на реальность результаты (для удвоения тора нужно ~7500 об/мин). Спасибо ответившим!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: