Нормируемость и топологии

philnau

Прочитал в книжке 2 опр-ия нормируемости ТВП (топологического векторного пространства)
1. ТВП нормируемо, если сущ-ет норма, открытые мн-ва по которой совпадает с открытыми мн-ми топологии.
2. ТВП нормируемо, если существует базис из открытых шаров.
То есть 1) любой открытый шар содержит в себе открымое мн-во (из топологии) и
2) в любом открытом мн-ве из топологии существует открытый шар.
На первый взгляд, эти опр-ия равносильны, но не тут-то было.
1. => 2. очевидно
2. => 1. не могу ничего док-ть
Понятно, что топологии будут экв-ми, но чтобы прямо совпадение док-ть...
Может быть это и неверно? Помогите, пожалуйста, разобраться

goga7152

Сообщение удалил

iri3955

А что такое открытый шар?

philnau

Prosto razberites' s opredeleniem otkrytogo mnozhestva v topologii, opredeljaemoj normoj i basisa topologii — togda vse dolzhno stat' ponjatno.
Открытое мн-во в топологии, определяемой нормой - это мн-во, которое вместе с каждой точкой х содержит шар B(x,Eps) = {z: ||z-x||<Eps}
U - окрестность, если внутренность U непуста.
Базис топологии - это сов-ть окрестностей, т.ч. для любого открытого G найдется окр-ть U из этого семейства , которая входит в G.
Понятней не стало
Все определения из Шефер Х. - Топологические векторные пространства

Sanych

Вопрос а:
в определении базиса не было ничего про "и содержит заданную точку"?
Вопрос б:
не забыто ли при доказательстве, что пространство топологическое векторное, а следовательно сдвиг и умножение на число - непрерывны (и даже гомеоморфизмы).
Представить открытый шар в виде объединения содержащихся в нём открытых множеств получается вроде бы практически сразу, достаточно сжатых и сдвинутый копий одного множества, в обратную сторону... не знаю пока.

goga7152

Сообщение удалил

z-helenium

[math]Обратное не верно. Например, множество $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ над $\mathbb{R}$ с любой нормой и топологией: $A$ открыто, если представляется в виде $A = B\times\mathbb{R}$, где $B \subset \mathbb{R}$ — открытое по норме в $\mathbb{R}$.[/math]

Sanych

Нет, такое не подходит, потому что не выполняется условие: любой открытый шар содержит в себе открытое мн-во (из топологии)
Но, похоже, действительно несложно подобрать такую топологию, что открытые шары в R^2 отвечают условиям первого поста, но она тем не менее содержит больше множеств, чем обычная R^2

soldatiki

Но, похоже, действительно несложно подобрать такую топологию
В конечномерном пространстве существует лишь одна топология, согласованная с векторной структурой.

manggol

и какая?

lena1978

нука-нука поподробнее :D

philnau

и какая?
Стандартная
Всем спасибо, помогли разобраться.
Пришёл к выводу, что это недостатки книжки. Отныне буду держать в голове только первое опр-ие.

Irina_Afanaseva

на какой странице второе определение?

svetik5623190

Прочитал в книжке 2 опр-ия нормируемости ТВП (топологического векторного пространства)
1. ТВП нормируемо, если сущ-ет норма, открытые мн-ва по которой совпадает с открытыми мн-ми топологии.
2. ТВП нормируемо, если существует базис из открытых шаров.
Топология однозначно определяется базой (обратное правда неверно). Поэтому две топологии совпадают тогда и только тогда, когда можно найти множество множеств, являющееся их общей базой.
Поэтому 1 эквивалентно 2. Фактически 2 означает, что топология нормируема если у неё база как у топологии нормы. а 1 что топология нормируема если у неё вообще все множества как у топологии нормы.
Так что нет никакого недостатка книжки. Имхо.

lenmas

Пришёл к выводу, что это недостатки книжки.
На самом деле ты просто немного перепутал критерий нормируемости Колмогорова: ТВП - нормируемо тогда и только тогда, когда существует базис, состоящий из выпуклых ограниченных окрестностей.
P.S. Тоже перепутал. Существует одна выпуклая и ограниченная окрестность (или по одной того и другого типа). :o
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: