Исследовать на сходимость последовательность

svetik5623190

Исследовать на сходимость последовательность, если сходится - найти передел.
[math]$a_n = \underbrace{\ln \ln\dots \ln}_{\textrm{n логарифмов}} n  $[/math]

vlad82

Думаю, она с какого-то момента будет неопределена, т.к. ln от отрицательных чисел не считается.

Elena12

сзм

svetik5623190

Думаю, она с какого-то момента будет неопределена, т.к. ln от отрицательных чисел не считается.
А ведь и правда! :)
Хорошо, поскольку если разрешить числам быть комплексными, то многолистность не позволит корректно говорить о пределе, то давайте видоизменим:
[math]$b_n = \underbrace{\ln | \ln | \dots | \ln }_{\textrm{n логарифмов модуля}} |n |\dots |  $[/math]

491593

ln от отрицательных чисел не считается
ну если очень хочется, то считается, придется только договориться о ветви. Но все равно задача что то не вдохновляет откровенно говоря :)

491593

мой прогноз что будет расходящаяся последовательность, бегающая от нуля до бесконечности, но доказывать самому лень :)

svetik5623190

ну если очень хочется, то считается, придется только договориться о ветви.
Не, не комильфо имхо :( Многолистность - не тру :(
Но все равно задача что то не вдохновляет откровенно говоря
Точно, как-то я проглядел, что последовательность обрывается. Давайте тогда так:
[math]$c_n = \underbrace{\sin \sin\dots \sin}_{\textrm{n синусов}} n  $[/math]

svetik5623190

мой прогноз
А какой твой прогноз будет про вот эту последовательность? Я знаю ответ.
[math][res=250]$\frac{1}{n\sin n}$[/math]

491593

Точно, как-то я проглядел, что последовательность обрывается. Давайте тогда так:
[math]$c_n = \underbrace{\sin \sin\dots \sin}_{\textrm{n синусов}} n $[/math]
вот это уже интереснее, мой прогноз - сойдется к нулю.

491593

А какой твой прогноз будет про вот эту последовательность? Я знаю ответ.
[math][res=250]$\frac{1}{n\sin n}$[/math]
насколько я знаю pi неравномерно быстро приближается рациональными, так что разойдется.

svetik5623190

Только слепой не знает
А доказывать ты бы как стал? Я пользовался подходящими дробями.
Для случая
[math][res=250]$\frac{1}{n^2\sin n}$[/math]
ситуация остаётся та же (но я это не проверял а для достаточно большого к (но я и это не проверял) предел последовательности
[math][res=250]$\frac{1}{n^k\sin n}$[/math]
будет существовать и равен нулю.

491593

ситуация остаётся та же (но я это не проверял а для достаточно большого к (но я и это не проверял) предел последовательности
[math][res=250]$\frac{1}{n^k\sin n}$[/math]
будет существовать
нифига себе, ты это точно знаешь, или это твоя гипотеза?
просто я уверен в обратном..

svetik5623190

вот это уже интереснее, мой прогноз - сойдется к нулю.
Ну да, |sin n| < Pi/2 и привет.
Чёта не получается интересные задачки придумывать. Одна вообще некорректная, вторая - слишком лёгкая получилась.

svetik5623190

нифига себе, ты это точно знаешь, или это твоя гипотеза?
просто я уверен в обратном..
Слышал от одного знакомого несколько лет назад. Он говорил, что это какой-то результат из теории чисел. Могу скинуть в приват аську товарища, можешь уточнить у него, если захочешь.

svetik5623190

просто я уверен в обратном..
Почему?

491593

Чёта не получается интересные задачки придумывать
Придумают и без тебя. Наше дело - решать.
P.S. Очень часто кстати на конференциях слышал доклады, где самое интересное - список открытых вопросов в конце, а в самой докладываемой работе доказано очень мало. Очень оригинальный подход.

narkom

есть ещё статьи: я понял как этот метод работает, и он суперкрут!

491593


просто я уверен в обратном..
Почему?
ну просто это означает существование полиномиальной оценки снизу на приближения числа pi рациональными. Ни разу такого в жизни не слышал..

491593

шедевр, который я видел, гласит следующее: "к сожалению фундаментальные результаты наших работ неизвестны специалистам."

svetik5623190

шедевр, который я видел, гласит следующее: "к сожалению фундаментальные результаты наших работ неизвестны специалистам."
А что, нормально так, скромно, чуваки намекают на то, что не считают себя специалистами. :grin:

a7137928

Была какая-то теорема из ТЧ об аппроксимации. Что-то о том, что для (*здесь условие на q*) множество чисел, которые плохо аппроксимируются, т.е.
[math]$|x-\frac m n |<\frac 1 {n^q}$[/math] лишь для конечного числа дробей m/n, имеет меру ноль.
Не помню вот только условие на q и название теоремы. Кажется, q>1.
С формулировкой, возможно, сильно наврал

NHGKU2

Точно, как-то я проглядел, что последовательность обрывается. Давайте тогда так:
[math]$c_n = \underbrace{\sin \sin\dots \sin}_{\textrm{n синусов}} n $[/math]
Вот интересная, на мой взгляд, формула:
[math]$$\underbrace{\sin \sin\dots \sin}_{\textrm{n синусов}} 1=\sqrt{\frac{3}{n}}\left(1-\frac{3}{10}\frac{\ln n}{n}+O\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)\right)$$[/math]
Попробуйте доказать.
P.S. В частности, если вы наберёте на инженерном калькуляторе цифру 1 и начнете нажимать кнопку "sin", то для того, чтобы обнулились первые три цифры после запятой, вам нужно будет нажать на эту кнопку около трёх миллионов раз :grin:

narkom

.S. В частности, если вы наберёте на инженерном калькуляторе цифру 1 и начнете нажимать кнопку "sin", то для того, чтобы обнулились первые три цифры после запятой, вам нужно будет нажать на эту кнопку около трёх миллионов раз :grin:
а ты усердный :)

491593

В частности, если вы наберёте на инженерном калькуляторе цифру 1 и начнете нажимать кнопку "sin", то для того, чтобы обнулились первые три цифры после запятой, вам нужно будет нажать на эту кнопку около трёх миллионов раз
ну я подозревал нечто такое, производная же единице равна, так что экспоненциальной сходимости нет :)

491593

[math]$$\underbrace{\sin \sin\dots \sin}_{\textrm{n синусов}} 1=\sqrt{\frac{3}{n}}\left(1-\frac{3}{10}\frac{\ln n}{n}+O\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)\right)$$[/math]
Попробуйте доказать.
признаюсь что ни малейшего понятия не имею как доказывать.
в чем идея, если знаешь, в двух словах?

svetik5623190

производная же единице равна,
а квадратичный член равен нулю...

a7137928

http://mathworld.wolfram.com/LiouvilleNumber.html
Число пи не является числом Лиувилля. Поэтому для некоторого К верно
[math]$|\pi - \frac p q|>=\frac 1 {q^n}$[/math] для всех n>=K.
Вроде отсюда следует, что, начиная с некоторого K (k>=K последовательности
[math]$a_n=\frac 1 {n^k \sin n}$[/math] будут бесконечно малыми.

svetik5623190

признаюсь что ни малейшего понятия не имею как доказывать.
Может рассмотреть итерационный процесс x_{n+1}=sin x_n в окрестности нуля, попытаться выкопать какие-то оценки на скорость сходимости?..

491593

Число пи не является числом Лиувилля
вот это круто. спасибо за инфу. до этого момента был уверен что из форума ничего полезного в научном плане извлечь нельзя.

NHGKU2

Более слабое соотношение [math]$$\underbrace{\sin \sin\dots \sin}_{\textrm{n синусов}} 1\sim\sqrt{\frac{3}{n}}, \quad n\to\infty$$[/math] можно легко получить из теоремы Штольца, если ее помните (некоторым первокурсникам мехмата ее читают в обязятельном курсе матана). А уже доказательство той формулы, что я написал, в двух словах не напишешь :) Могу только сказать, что оно не очень простое. Ну т.е. мне неизвестно ее простое доказательство.

a7137928

Вообще, если мне не изменяет память, то где-то, чуть ли не в "Лекциях по эргодической теории" Халмоша, я видел доказательство чего-то из ТЧ, как раз из области приближений, теоремы Лиувилля и меры множеств "хорошо"/"плохо" приближаемых чисел, методами эргодической теории.

491593

А уже доказательство той формулы, что я написал, в двух словах не напишешь :) Могу только сказать, что оно не очень простое.
понятно :) . Кстати совсем не буду удивлен, если окажется что какая-то еще более хорошая асимптотика эквивалентна гипотезе Римана.. очень часто она возникает в самых разных подобных вопросах.

491593

В три часа ночи
ну справедливости ради у меня 7 вечера, но вообще да, занятно :grin:

491593

Вообще, если мне не изменяет память, то где-то, чуть ли не в "Лекциях по эргодической теории" Халмоша, я видел доказательство чего-то из ТЧ, как раз из области приближений, теоремы Лиувилля и меры множеств "хорошо"/"плохо" приближаемых чисел, методами эргодической теории.
В это верю. Интересно что именно pi.

k4pmah

Можешь глянуть в книжке Н. Г. де Брёйн, Асимптотические методы в анализе (aka N. G. de Bruijn, Asymptotic methods in analysis) в 8-й главе. В двух словах это делается так. Обозначим нашу последовательность через [math]$x_n$[/math] и рассмотрим последовательность [math]$w_n=3x_n^{-2}$[/math]. Тогда [math]$w_n\to+\infty$[/math] и [math]$w_{n+1}=w_n+1+3/5w_n^{-1}+O(w_n^{-2})$[/math], откуда [math]$w_n=n+3/5\log n+\mathrm{const}+O\left(\frac{\log n}{n}\right)$[/math]. Отсюда получается требуемое.

den81

Сам-то проверял перед тем как ерунду писать?

491593

интересно, спасибо

Ater

А мне кажется, что все просто и тривиально. Для любого Х выполнено неравенство |sin X|<=|X|. Т.е. мы имеем ограниченную в области [-1; 1] и убывающую по модулю последовательность. Откуда, если привлечь что-то типа теоремы о двух миллиционерах, все и выплывает...

8888157

а сверху какой сходящейся к нулю посл. будешь ограничивать?

svetik5623190

Я же уже выше всё написал.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: