[Алгебра] Помогите решить задачку, плиз

Vlatysh

Сдаю спецкурс, срочно нужна помощь! Че-то я сам туплю, кажется...
Короче, как доказать, что полупервичное PI-кольцо с нетеровым центром неторово?
Нужна хотя бы идея, а то не понятно за что браться.

JuLsJuLs

Если объяснять подробно, то долго будет.
Вообще, путей уйма. Что сразу на ум приходит:
Z(R) удовл. ACC(аннуляторы) ->
R удовл. ACC(аннуляторы) ->
в R есть конечная система система первичных идеалов, дающих в пересечении 0 ->
R есть конечное подпрямое произведение первичных колец.
Тем самым задача свелась к первичным кольцам R_i. Но в первичном кольце есть центральный полином, да еще и все элементы регулярные. Тем самым R_i вкладывается в конечномерный Z(R_i)-модуль.
Если хочется по-другому, можно применить теорему про кольцо частных: если Z(R) удовл. ACC(аннуляторы то центральная локализация - полупростое кольцо. Дальше должно более-менее получиться.
Если что - идешь в читалку и ботаешь Rowen'a.

Vlatysh

Спасибо большое. А можешь еще кое-что объяснить, если не влом?
1. Как доказывать, что R/I — примитивно <=> I — примитивный идеал?
2. Как доказывать, что R/I — первично <=> I — первичный идеал?
3. Что такое первичный модуль и "первичные идеалы, ассоциированные с первичными модулями"? И каковы некоммутативные аналоги примарного разложения модуля? Просто нигде, в том числе в лекциях, не могу найти про это ни слова.
На счет первых двух вопросов че-то туплю дико, сам удивляюсь.

JuLsJuLs

2. Есть несколько определений примитивности и первичности. Какие ты имеешь в виду, могу только догадываться. Если я догадываюсь правильно, то в обоих случаях достаточно применить теорему о соотвествии идеалов при гомоморфизме.
3. Не помню такого. Посмотри http://planetmath.org/encyclopedia/AssociatedPrime.html, вдруг поможет.

Vlatysh

Под примитивным идеалом я имею в виду наибольший двусторонний идеал P, содержащийся в некотором максимальном (правом) идеале M. Он же аннулятор фактормодуля R/M. Под примитивным кольцом понимается кольцо, у которого 0 — примитивный идеал.
2. Под первичным идеалом имеется в виду двусторонний идеал P \neq 0, такой что для всех двусторонних идеалов A и B справедливо AB \subset P => A \subset P либо B \subset P. Под первичным кольцом понимается кольцо, у которого 0 — первичный идеал.
3. Спасибо

JuLsJuLs

1. Под примитивным идеалом я имею в виду наибольший двусторонний идеал P, содержащийся в некотором максимальном (правом) идеале M. Он же аннулятор фактормодуля R/M. Под примитивным кольцом понимается кольцо, у которого 0 — примитивный идеал.
Свойства быть максимальным и наибольшим сохраняются при гомоморфизме и соотвествующем подъеме. Следует из теоремы о гомоморфизме, как я уже сказал.
2. Под первичным идеалом имеется в виду двусторонний идеал P \neq 0, такой что для всех двусторонних идеалов A и B справедливо AB \subset P => A \subset P либо B \subset P. Под первичным кольцом понимается кольцо, у которого 0 — первичный идеал.
Опять очевидно из теоремы о гомоморфиме. AB \subset P <=> (A/PB/P) \subset 0.
3. Спасибо
Не за что.

Vlatysh

Действительно, очевидно!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: