Экспоненциальное отображение

gl_n(C) - все комплексные матрицы n на n, GL_n(C) - невырожденные.

(d R_{exp X})^{-1}_e\circ (d exp)_X=\frac{e^{ad X}-E}{ad X}=E+\frac{ad X}{2!}+...+\frac{(ad X)^n}{(n+1)!}+..., где R_a — правый сдвиг и т.д. Т.е. дифференциал экспоненциального отображения в точке X вырожден (грубо говоря) когда у ad X есть собственное значение вида 2mi\pi.
Но я её сейчас не посчитаю просто .
Но остается вопрос: вырожденность дифференциала еще не влечет не открытость отображения... вот например z^2 вырожден в нуле, но ведь открыт, зараза...
P.S.: Если что-нибудь получится, напишите, пожалуйста, идею — любопытно

Аржанцев объяснил (я ему отчет аспирантсий сдавал): рассмотрим множество диагонализуемых матриц, у которых все собственные числа разные. Оно открыто. Экспонента от него - все диагонализуемые невырожденные матрицы, а они уже не образуют открытое множество - например в окрестности единицы полно недиагонализуемых матриц. Вот так, и ничего считать не надо...
Оставить комментарий
stm2515023
Говорят отображение Exp: gl_n(C) -> GL_n(C) не открыто... Может кто может объяснить почему?