Экспоненциальное отображение

stm2515023

Говорят отображение Exp: gl_n(C) -> GL_n(C) не открыто... Может кто может объяснить почему?

Zoltan

а кто такие gl маленькие и большие?

stm2515023

gl_n(C) - все комплексные матрицы n на n, GL_n(C) - невырожденные.

Sanych

Вероятно, за счёт некоммутативности производная может становиться вырожденной. Но я её сейчас не посчитаю просто .

goga7152

Но я её сейчас не посчитаю просто .

(d R_{exp X})^{-1}_e\circ (d exp)_X=\frac{e^{ad X}-E}{ad X}=E+\frac{ad X}{2!}+...+\frac{(ad X)^n}{(n+1)!}+..., где R_a — правый сдвиг и т.д. Т.е. дифференциал экспоненциального отображения в точке X вырожден (грубо говоря) когда у ad X есть собственное значение вида 2mi\pi.

stm2515023

Пуфф..., выкладки написал, кажется действительно сошлось. Круто. Спасибо.
Но остается вопрос: вырожденность дифференциала еще не влечет не открытость отображения... вот например z^2 вырожден в нуле, но ведь открыт, зараза...

goga7152

В томе 20 Группы Ли и алгебры Ли - 1 серии ВИНИТИ "Фундам. направления" на стр. 51 есть теорема, утверждающая что если у оператора ad X есть собственное значение 2mi\pi, m\neq 0, то отображение exp не только не является локальным диффеоморфизмом, но и не открыто в X. Так что я думаю ничего не остается кроме как взять конкретное X с такими свойствами, и попытаться описать в координатах соотв. экспоненциальное отображение.

P.S.: Если что-нибудь получится, напишите, пожалуйста, идею — любопытно

stm2515023

Аржанцев объяснил (я ему отчет аспирантсий сдавал): рассмотрим множество диагонализуемых матриц, у которых все собственные числа разные. Оно открыто. Экспонента от него - все диагонализуемые невырожденные матрицы, а они уже не образуют открытое множество - например в окрестности единицы полно недиагонализуемых матриц. Вот так, и ничего считать не надо...