Как отличить дважды перекрученную ленту и цилиндр

antill

Пусть имеется прямоугольник, лежащий в плоскости, вложенной в трехмерное евклидово вещественное пространство R^3 (далее --- лента)
если склеить два противоположных края ленты, получится цилиндр
если склеить два противоположных края ленты с одним перекрутом, получится лента Мебиуса
если склеить два противоположных края ленты с двумя перекрутами, получится дважды перекрученная лента
если память мне не изменяет, дважды перекрученная лента гомеоморфна цилиндру
вроде бы не существует сохраняющего метрику отображения R^3 на себя, переводящего дважды перекрученную ленту в цилиндр
что же разное у этих поверхностей? фундаментальная группа (группа гомотопных путей) вроде бы одна и та же...
сам я не геометр, прошу объяснить попроще :) спасибо!

3deus

что же разное у этих поверхностей? фундаментальная группа (группа гомотопных путей) вроде бы одна и та же...
Посмотрите коэффициент зацепления двух краев этой поверхности.
Для боковой поверхности цилиндра он равен нулю ...

blackout

вроде бы не существует сохраняющего метрику отображения R^3 на себя
Если я правильно понимаю то такие отображения это только повороты/сдвиги/отражения.
Возможно имеется в виду, что нет изометрии между цилиндром и дважды перекрученной лентой, с индуцированными с R^3 метриками?

3deus

Посмотрите коэффициент зацепления двух краев этой поверхности.
Да, так, посчитал. Если лента перекручена против часовой стрелки n раз, то коэффициент зацепления краев равен n. А если по часовой, то -n.

antill

Посмотрите коэффициент зацепления двух краев этой поверхности.
я не знаю, что это такое... но ключевое слово для поиска понял, поставил плюс. спасибо!

antill

Возможно имеется в виду, что нет изометрии между цилиндром и дважды перекрученной лентой, с индуцированными с R^3 метриками?
я имел в виду то, что сказал :)
а что, изометрии тоже нет? я-то предполагал, что если выйти в многоверное пространство, то можно там эту дважды перекрученную ленту распутать подобно тому, как две концентрические окружности, лежищие в плоскости, сожно вынуть одну из другой в трехмерном пространстве. ошибаюсь?

blackout

Разный коэффициент зацепления докажет, что дважды перекрученная лента не гомеоморфна цилиндру, это не связано с метрикой. Негомеоморфные поверхности вполне могут быть локально изометричны.

blackout

Ты не путаешь изометрию и гомеоморфизм? "Распутывание" это вообще говоря гомеоморфизм. Если дважды перекрученную ленту можно "распутать" в цилиндр, то коэффициент зацепления краев должен сохраняться (понятно, что края перейдут в края).

blackout

Да, и по-моему можно вложить эту ленту в R^3 так, чтобы она была локально изометрична цилиндру (который в свою очередь локально изометричен плоскости).

3deus

я не знаю, что это такое
 
1) Формула Гаусса для коэффициента зацепления двух кривых a,b:S^1->R^3 :
lk(a,b) = (1/4pi) * Интеграл_{по кривым a и b} <[da,db],b-a> / |a-b|^3
2) Комбинаторная формула вычисления коэффициента зацепления lk(A,B) по диаграмме зацепления кривых A и B: считаем +/- 1 сумму по всем перекресткам, где кривая A выше кривой B (берем +1 там, где кратчайший поворот от A к B идет против часовой стрелки, и -1 в противном случае).

antill

Ты не путаешь изометрию и гомеоморфизм?
изометрия = изоморфизм в категории метрических пространств
гомеоморфизм = изоморфизм в категории топологических пространств
"Распутывание" это вообще говоря гомеоморфизм.

хз что такое распутывание на самом деле. употребил термин не формально, точного значения не знаю
представлял себе так, что одно вложенное в R^n многообразие можно "распутать" в другое вложенное в R^n многообразие, если существует такое k>n и хорошее отображение из R^k в R^k, что образ первого многообразия под действием этого отображения равен второму многообразию
что понимать под хорошестью отображения --- хз. может, сохранение метрики в R^k
Если дважды перекрученную ленту можно "распутать" в цилиндр, то коэффициент зацепления краев должен сохраняться (понятно, что края перейдут в края).
не очевидно... да я даже не знаю, что такое коэффициент зацепления... где читать-то? в книгах по гомотопической топологии? или по теории узлов? я полный нуб в этом

antill

спасибо, ребята, буду думать...

antill

Разный коэффициент зацепления докажет, что дважды перекрученная лента не гомеоморфна цилиндру, это не связано с метрикой
то есть ответа на главный вопрос (из первого поста) так пока и не прозвучало в треде?

3deus

Разный коэффициент зацепления докажет, что дважды перекрученная лента не гомеоморфна цилиндру
Вы не правы: сколько угодно раз перекрученные (ориентируемые) ленты гомеоморфны друг другу.
Это очевидно: разрежьте ленту, перекрутите её на 2pi и снова склейте — вот и гомеоморфизм.

blackout

Да, правильно говорить что они "негомеоморфны в R^3", то есть нет непрерывного семейства вложений F_t:A->R^3 такого, что F_0(A) = цилиндр, а F_1(A) = лента.

3deus

правильно говорить что они "негомеоморфны в R^3", то есть нет непрерывного семейства вложений F_t:A->R^3
Бред. Это называется ГОМОТОПИЕЙ. Вы с какого факультета ? пишете не дело ... :(

blackout

Это не называется гомотопией. В гомотопии все F_t непрерыные, а в том, что я написал все F_t - вложения. Гомотопию между лентой и цилиндром как раз можно построить.

3deus

В гомотопии все F_t непрерыные, а в том, что я написал все F_t - вложения.
Это называется ИЗОТОПИЕЙ (в классе вложений т.е гомотопией с дополнительными ограничениями. Вы с физфака ? :grin:

Yur4I

Гомотопию между лентой и цилиндром как раз можно построить.
постройте

blackout

постройте
И лента и цилиндр гомотопны окружности.

3deus

И лента и цилиндр гомотопны окружности
Не гомотопны, а ГОМОТОПИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫ !
 :grin: :grin: :grin:

blackout

Не гомотопны, а ГОМОТОПИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫ !
Кому надо - понял.

Yur4I

И лента и цилиндр гомотопны окружности.
я понимаю так что лента гомотопна отрезку то есть точке

blackout

В контексте данной темы лента это сокращение для "если склеить два противоположных края ленты с двумя перекрутами, получится дважды перекрученная лента". И не пиши "гомотопна", а то адм начнет ОРАТЬ.

3deus

понимаю так что лента гомотопна отрезку то есть точке
:grin:

Yur4I

т.е. лента и "дважды перекрученная лента" - это одно и тоже для тебя ;)

Yur4I

ну ладно - гомотопически эквивалентна

3deus

ну ладно - гомотопически эквивалентна
лента точке гомотопически не эквивалентна ...

antill

час назад встретил на факультете Ошемкова, он мне объяснил, что как многообразия цилиндр и дважды перекрученная лента представляют собой одно и то же многообразие А (т.е. имеют одинаковую внутреннюю геометрию но вноженное в R^3 двумя разными способами
в частности,
нет непрерывного по t семейства вложений F_t:A->R^3 такого, что F_0(A) = цилиндр, а F_1(A) = дважды перекрученная лента.
однако уже для R^4 это не имеет места, т.е. если то R^3, в которое вложены цилиндр и дважды перекрученная лента, рассмотреть как евклидово подпространство в R^4, то уже
найдётся непрерывное по t семейство вложений G_t:A->R^4 такое, что G_0(A) = цилиндр, а G_1(A) = дважды перекрученная лента
Итак, на вопрос, поставленный в первом посте (чем же отличаются в смысле топологии и геометрии цилиндр и дважды перекрученная лента? имеется следующий
ответ: эти две поверхности представляют собой одно и то же многообразие, вложенное в R^3 двумя разными способами. Поэтому все свойства, вполне определяемые внутренней геометрией, у них одинаковые, а вот свойства, определяемые способом вложения, могут отличаться. В частности, различны коэффициенты зацепления двух компонент связности края.
Замечание от меня: способ вложения --- великое дело. Например, такая характеристика, как хаусдорфова (=фрактальная) размерность характеризует в первую очередь именно способ вложения, а не только лишь сам вложенный объект. Не знал, что и в случае с цилиндром и дважды перекрученной лентой "играет" тот же инструмент.
Всем спасибо за обсуждение!

blackout

однако уже для R^4 это не имеет места, т.е. если то R^3, в которое вложены цилиндр и дважды перекрученная лента, рассмотреть как евклидово подпространство в R^4, то уже
Да, потому что коэффициент зацепления определяется только в R^3.
эти две поверхности представляют собой одно и то же многообразие, вложенное в R^3 двумя разными способами.
Это равносильно тому, что они гомеоморфны (ну или диффеоморфны) о чем ты писал в первом посте.

lenmas

Это равносильно тому, что они гомеоморфны (ну или диффеоморфны) о чем ты писал в первом посте.
Шо-то я не поняв, а однажды перекрученная лента тоже что ли одно и то же с точки зрения внутренней структуры? :confused:

lenmas

адин раз - не пидараз
Ты можешь хоть один раз по-человечески разсказать, без ужимок? ;)
Для нетопологов.

lena1978

хз, не читал ваще чо тут. многа букав. сижу мазги пропиваю.

Vikuschechka9

нет, один раз перекрученная лента - неориентируемая, а чётно перекрученная - ориентируемая поверхность с краем

blackout

а однажды перекрученная лента тоже что ли одно и то же с точки зрения внутренней структуры?
Если бы она была гомеоморфна цилиндру - да.

lenmas

нет, один раз перекрученная лента - неориентируемая, а чётно перекрученная - ориентируемая поверхность с краем
А гомеоморфизм сохраняет ориентируемость? Я просто далекий от дифгема, поэтому такие тупые вопросы и задаю :)

lenmas

Если бы она была гомеоморфна цилиндру - да.
Так значит, она не гомеоморфна? Буду теперь знать :grin:

BSCurt

А гомеоморфизм сохраняет ориентируемость? Я просто далекий от дифгема, поэтому такие тупые вопросы и задаю
Однажды перекрученая лента = лист Мебиуса, с точки зрения внутренней структуры не одно и тоже что и цилиндр.
Про ориентируемость гомоморфизм её сохраняет, как бы в категории топологических (для работы с гладкими нужно брать не гомоморфизмы а диффеоморфизмы.) многообразий гомоморфные многообразия это на самом деле одно и тоже многообразие.

antill

Про ориентируемость гомоморфизм её сохраняет, как бы в категории топологических (для работы с гладкими нужно брать не гомоморфизмы а диффеоморфизмы.) многообразий гомоморфные многообразия это на самом деле одно и тоже многообразие.
гомо? гомео, наверное, ты хотел сказать?
кстати, стирающий функтор из категории метрических пространств в категорию топологических пространств тоже много чего стирает; например, полное метрическое пространство легко может оказаться гомеоморфно неполному. поэтому неудивительно, что способ вложения вообще никак не влияет на индуцируемую топологию.
а вот ещё вопрос: верно ли я понимаю, что у цилиндра (и у четное число раз перекрученной ленты) фундаментальная группа (группа гомотопных путей) как группа изоморфна (Z тензорно на Z а у ленты мебиуса --- изоморфна Z?

blackout

а вот ещё вопрос: верно ли я понимаю, что у цилиндра (и у четное число раз перекрученной ленты) фундаментальная группа (группа гомотопных путей) как группа изоморфна (Z тензорно на Z а у ленты мебиуса --- изоморфна Z?
Нет, у обоих Z.

BSCurt

Да гомеоморфизм, конечно, я хотел сказать.
а вот ещё вопрос: верно ли я понимаю, что у цилиндра (и у четное число раз перекрученной ленты) фундаментальная группа (группа гомотопных путей) как группа изоморфна (Z тензорно на Z а у ленты мебиуса --- изоморфна Z?
Не верно, фундаментальная группа у обоих изоморфна Z, гомотопически и то и другое эквивалентно окружности.
бан? да тут состав преступления максимум на (++) тянет.
не я первый матюгнулся, я лишь поддержал тренд
причём имхо я матюгнулся более по делу, чем до меня
Занервничал, оправдываться, переводишь стрелки, что прошлый бан нанес тебе психологическую травму?

lena1978

а гомотопический тип совпадает?

BSCurt

Да совпадает, но если расматривать гомотопический тип пары: многобразие и его край то у них он разный.

antill

Занервничал, оправдываться, переводишь стрелки, что прошлый бан нанес тебе психологическую травму?
у меня никогда не было бана не по собственному желанию (Gonobobel забанился псж а в Стади даже рестрикта никогда не было

BSCurt

у меня никогда не было бана не по собственному желанию (Gonobobel забанился псж а в Стади даже рестрикта никогда не было
Why so serious?

antill

а вот ещё вопрос: верно ли я понимаю, что у цилиндра (и у четное число раз перекрученной ленты) фундаментальная группа (группа гомотопных путей) как группа изоморфна (Z тензорно на Z а у ленты мебиуса --- изоморфна Z?
----------------------------------
Нет, у обоих Z.
спасибо! да, как-то я не учел, что поверхность-то, она ж имеет нулевую толщину, и путь не может "идти" только по одной "стороне" поверхности. зато, наверное, я прав вот в чём (да?):
а вот ещё вопрос: верно ли я понимаю, что у края цилиндра (и у края четное число раз перекрученной ленты) фундаментальная группа (группа гомотопных путей) как группа изоморфна (Z тензорно на Z а у ленты мебиуса --- изоморфна Z?

Yansloka

Зарелуа mode ? :grin: :grin: :grin:

lena1978

а чо там тор и бутылка клейна выходит или чо?

BSCurt

а вот ещё вопрос: верно ли я понимаю, что у края цилиндра (и у края четное число раз перекрученной ленты) фундаментальная группа (группа гомотопных путей) как группа изоморфна (Z тензорно на Z а у ленты мебиуса --- изоморфна Z?
Ты не поверишь но фундаментальная группа (что в случае с краем цилиндра на первый взгляд противоресчет поределению и интуиции) у краев обоих многообразий опять будет Z.

lena1978

как так, у цилиндра край же - две окружности

BSCurt

а чо там тор и бутылка клейна выходит или чо?
Э не понял вопрос, у тора и бутылки клейна гомотопический тип разный.
У цилиндра и листа мёбиуса одинаковый.
У пар (цилиндр,его край) и (лист мебиусаБ его край) гомотопический тип разный.

lena1978

пара тор с точкой и цилиндр с краем эквивалентны или нет?

antill

Why so serious?
лучше было послать нотифай с просьбой дать (+) за распространение заведомо неверной информации? :grin:

BSCurt

пара тор с точкой и цилиндр с краем эквивалентны или нет?
Нет, у них гомологии пары разные. Были бы эквивалентны тогда гомологии пары должны бы ли быть одинаковы.

antill

Ты не поверишь но фундаментальная группа (что в случае с краем цилиндра на первый взгляд противоресчет поределению и интуиции) у краев обоих многообразий опять будет Z.
как так, у цилиндра край же - две окружности

+1
поясни плиз (а лучше докажи почему фундаментальная группа одной окружности (край листа мебиуса) изоморфна фундаментальной группе двух непересекающихся окружностей (край цилиндра)?
или ты оговорился и прочитал мои слова как "у цилиндра и четное число раз перекрученной ленты" различные фундаментальные группы? я писал про цилиндр и ленту мебиуса

BSCurt

Понятоно, что край Мебиуса = окружность, край цилиндра = две не пересекающихся окружности. (Первые группы гомолгий соответственно Z и Z^2 но вот фундаментальная группа это согласного классическому определению, группа гомотопных путей начинающихся и заканчивающихся в заданной точке (т.е. эти пути петли соответственно на какой бы связной компоненте этих двух окружностей ты не взял точку группа петель из этой точки изоморфна Z. Такие дела, на связанных многообразиях абелизация (т.е. группа по модулю её коммутатора) фундаментальной группы взятой в любой точке изоморфна первой группе гомологий.

lena1978

блин, точка мешает

antill

но вот фундаментальная группа это согласного классическому определению, группа гомотопных путей начинающихся и заканчивающихся в заданной точке (т.е. эти пути петли соответственно на какой бы связной компоненте этих двух окружностей ты не взял точку группа петель из этой точки изоморфна Z.
круто! действительно, противоречит интуиции, но и в самом деле верно :) большое спасибо, очень поучительно!
поставил плюсы за все посты в треде
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: