Привилегированный компакт

tester1

Знали, что бывает такое? :shocked:
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/4345/%D0%9F%D...

lenmas

Знали, что бывает такое?
Ты можешь на странички с ненормативной лексикой не направлять приличных людей? :grin:

Mausoleum

Конечно! А ты что знаешь про нестинг поверхности Ферми?

Jeton89

А можешь объяснить как-нибудь попроще, что такое пучок, и что такое когерентный пучок?
Или, если я не понял что в википедии написано, то я уже безнадежен? :(

BSCurt

Или, если я не понял что в википедии написано, то я уже безнадежен?
Ну вроде того.
Хотя определение которое нашел Гонбобель, какое-то жуткое и, вероятнее всего, о-о-о-о-о-о-чень узко специальное.
Вообще в викие всё написано ( http://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_%28mathematics%29 )
но могу попытаться растолковать
с начала надо определить что такое предпучок
Let X be a topological space, and let C be a category. Usually C is the category of sets, the category of groups, the category of abelian groups, or the category of commutative rings. A presheaf F on X with values in C is given by the following data:
For each open set U of X, there corresponds an object F(U) in C
For each inclusion of open sets V ⊆ U, there corresponds a morphism resV,U : F(U) → F(V) in the category C.
The morphisms resV,U are called restriction morphisms. The restriction morphisms are required to satisfy two properties.
For every open set U of X, the restriction morphism resU,U : F(U) → F(U) is the identity morphism on F(U).
If we have three open sets W ⊆ V ⊆ U, then the composite resW,V o resV,U = resW,U.
Смысл на писаного такой, допустим, на интересует, что такое некоторый предпучок F абелевых групп на многообразии X. По определению F сопоставляет каждому открытому множеству U в X некоторую абелеву группу, которую обозначают F(U и для каждого открытого множества V ⊆ U задан гомоморфизм групп resV,U : F(U) → F(V этот морфинизм называется сужением. Ну и для любой тройки открытых множеств W ⊆ V ⊆ U должно выполняться resW,V o resV,U = resW,U.
Какой в этом смысл, т.е. что нужно представлять когда говорят о (пред)пучках? Фактически один из самых часто возникающих примеров пучков - это пучок функций (или дифференциальных форм заданной степени) гладких, непрерывных, бесконечно дифференцируемы, голоморфных, etc. (нужное подчеркнуть). Что такое, например пучок не первых функций С^0 на многообразии X? Мы сопоставляем открытому множеству U группу всех непрерывных функций заданных на U, т.е С^0(U тогда морфизм сужения resV,U :С^0(U) → С^0(V что просто сужение непрерывной функции с множества U на подмножество V. Для других классов функций аналогично.
Ну да пучок это предпучок, который удовлетворите ряду дополнительных условий.
Про когерентные пучки довольно сложно объяснять.

Jeton89

хм... как все сложно оказывается
А по сути, это что? Некая операция? Определение через "Предпучок задается следующими данными" - непонятно. "Предпучок сопоставляет" - тоже странно для меня звучит. Вроде как перед произнесением этого предложения уже должно быть понятно, что это за предпучок. То что "предпучок" - это существительное в русском, еще больше усугубляет положение =)

tester1

определение которое нашел Гонбобель, какое-то жуткое и, вероятнее всего, о-о-о-о-о-о-чень узко специальное.
я его хохмы ради привёл, если что :) звучит прикольно. а в смысл я даже не пытался въёзжать

BSCurt

Ну я может коряво всё объяснил, но попробую ещё раз, говорят что F является пучком абелевых групп (колец, векторных пространств, чего угодно) на топологическом пространстве X, если задано правило по которому любому открытому множеству U из X сопоставляется некоторая абелева группа (кольцо, векторное пространство, чего угодно) которая обозначается F(U такое что оно удовлетворяет ряду дополнительных требований. Т.е. F это фактически отображение (удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям) из множества всех открытых множеств на X в множество абелевых групп (колец, и т.д.).
На самом деле картинка которая стоит за всем этим понятием и скорого она строилась - это просто непрерывные (гладкие/ голоморфные и т.д.) функции X и его открытых подмножествах, т.е. пучок C^0 непрерывных функций на X, сопоставляет каждому открытому множеству U из Х векторное пространство всех непрерывных функций на U, т.е. C^0(U).

Jeton89

О, вроде полегчало. Спасибо.
А можно еще вопрос по гомологиям?
То же самое, что это такое? Ну то есть я понимаю (надеюсь когда говорят, что колбаска гомологична сфере, а кружка тору. Но что такое гомология? Набор всех возможных фигур, которые гомологичны друг другу?

BSCurt

То же самое, что это такое? Ну то есть я понимаю (надеюсь когда говорят, что колбаска гомологична сфере, а кружка тору. Но что такое гомология? Набор всех возможных фигур, которые гомологичны друг другу?
В общем-то опять не верно, я было начал подробно писать но как-то слишком длинно и непонятно получалось.

Jeton89

И чего делать теперь? :)

BSCurt

Книжки читать!

Jeton89

=( Мне чтоб до гомологий по книжкам дойти, весь матан мехматовский выучить надо будет.
Я о строгости определений не забочусь же. Так, чтоб иметь минимальное представление откуда ноги растут.

BSCurt

Да нет там предмет такой, что никакого матана не надо.
Суть примерно такая две n-мерных ориентированных поверхности без края D_1, D_2 называются гомологичными если существует (n+1)-мерная поверхность С, такая что её граница с учетом ориентации её граница равна b C =D_1 - D_2, где b оператор взятие границы. Поверхность n-мерных ориентированных поверхности без края D гомологична нулю если она является границей некоторой (n+1)-мерная поверхности С, т.е. b C =D.
Грубо говоря n-мерных гомологий многообразия X (обозначается Н_n(X это группа всех n-мерных ориентированных поверхности без края по модулю отношения гомологичности (т.е. во первых поверхности можно формально складывать и вычитать, а во вторых две поверхности считаются эквивалентными (т.е. задающими один и тот же элемент в группе гомологий) если они гомологичны).
Примеры Н_k(R^n)=0 при к>0 т.к. любая поверхность без края что-нибудь ограничивает.
Н_0(R^n)=Z (тут в роли 0-мерных поверхностей выступают точки, понятно что любые две точки гомологичны друг другу, т.к. являются границами отрезка их соединяющего) и таки образом группа Н_0(R^n) это класс эквивалентности точки и все его кратные.
ну далее например Н_{n-1}(R^n-{0})=Z (т.е. для R^n без нуля здесь нетривиальные классы гомологий представлены сферой вокруг нуля (и её кратными нетрудно понять, что такая сфера сама по себе не ограничивает никакой поверхности (из-за того что выкинута точка внутри сферы но две такие сферы (различного радиуса) гомологичны, т.к. ограничивают шаровой слой между ними. Например, в этом примере сфера внутри которой не лежит точки нуль, гомологична нулю, т.к. ограничивает шар, или например, тор во внутренности которого лежит точка нуль, гомологичен сфере во внутренности которого лежит точка нуль, т.е. задёт нетривиальный класс в гомологиях.
Ну последний пример Н_{1}(тор)=Z^2, группа порождена "параллелью" и "меридианом" тора, опять же нетрудно увидеть что "параллель" и "меридиан" ничего не ограничивают. Любая замкнутая кривая на торе в таком случае гомологичный n"параллель" + m "меридиан", где n - это количество раз (с учетом ориентации) которое кривая наматывается вдоль параллели и m - количество намоток вдоль "меридиана".
Как-то так.

Jeton89

А что такое ориентированная поверхность? И что это за особая точка нуль? Начало координат?
То есть, я правильно понимаю, что все эти геометрические объекты и операции над ними рассматриваются в какой-то заранее выбранной системе координат?

BSCurt

И что это за особая точка нуль? Начало координат?
Да оно самое, хотя там не особо важно можно было любую другую точку взять выкинуть её из R^n и проделать для неё все те же рассуждения.
То есть, я правильно понимаю, что все эти геометрические объекты и операции над ними рассматриваются в какой-то заранее выбранной системе координат?
Нет, какая-то фиксированная система координат там на самом деле не нужна.
А что такое ориентированная поверхность?
http://en.wikipedia.org/wiki/Orientation_%28mathematics%29
Для кривой в $R^2$ допустим ориентация задаётся просто направлением обхода (по или против часовой стрелки).

Jeton89

О, круто.
Можно уточняющий вопрос? Правильно ли я понимаю, что ориентация, скажем, окружности определяется направлением вектора нормали к плоскости, в которой она лежит? При этом выбор этой ориентации - есть, по сути, условность - дополнительное свойство, которое мы сами определяем. В смысле, выбор системы координат не фиксирует ориентацию.
А для сферы как ориентация задается? Можно тоже вектором нормали (наружу и внутрь)? Сферы с разной (если она возможна) ориентацией гомологичны? Т.е. "задают один и тот же элемент в группе гомологий"?

BSCurt

Правильно ли я понимаю, что ориентация, скажем, окружности определяется направлением вектора нормали к плоскости, в которой она лежит?
Вектором нормали в полости к кривой в которой она лежит, точнее тем образует ли касательная к кривой вместе с нормалью правую или левую систему координат. Например, условие о том что кривую обходят против часовой стрелки из Теоремы Грина ( http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%C3%F0%E8... ) это и есть задание и учет ориентации.
А для сферы как ориентация задается? Можно тоже вектором нормали (наружу и внутрь)?
Да в общем так и есть.
Сферы с разной (если она возможна) ориентацией гомологичны?
Суть ориентации в том что объекты с противоположной ориентацией задают элементы с противоположными знаками в группе гомологий, короче говоря сферы с противоположными ориентациями это "плюс" сфера и "минус" сфера в гомологиях.
Самая базовая идея за всем эти: есть отрезок [a,b] (его граница это две точки a и b считаем. что мы его ориентировали т.е. это уже стрелка у которой есть начало и конец, допустим а начало и b конец, тогда граница отрезка с учетом ориентации это ( +b и -a).

BSCurt

И да,
Один дурак может задать столько вопросов, что и 100 мудрецов не ответят.

Jeton89

Я рад, что дал тебе возможность почувствовать себя мудрецом :)

tester1

Поверхность n-мерных ориентированных поверхности без края D гомологична нулю если она является границей некоторой (n+1)-мерная поверхности С, т.е. b C =D.
слова в предложении не согласованы :)

tester1

Суть примерно такая две n-мерных ориентированных поверхности без края D_1, D_2 называются гомологичными если существует (n+1)-мерная поверхность С, такая что её граница с учетом ориентации её граница равна b C =D_1 - D_2, где b оператор взятие границы.
Пытаюсь понять. Вопрос: как вычитать поверхности? Кроме того, такое ощущение, что здесь нет симметрии между D_1 и D_2, по крайней мере по форме (или вычитание здесь симметрично?). Как же это согласуется с тем, что гомология есть отношение эквивалентности?

BSCurt

слова в предложении не согласованы
Я плохо владею русским языком, к тому же я не перечитывал свой длинный пост.
Пытаюсь понять.
Короче, давайте вы возьмете и почитаете книжку по алгебраической топологии (те более что это самые азы если уж так всем интересно, а не будете гонять меня туда сюда вопросами по материалу, который занимает несколько лекций с картинками и маханием руками (и который я тут в меру собственных способностей пытался объяснить на пальцах и в двух словах)

tester1

Как скажешь.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: