МКЭ и вариационная задача.

SNAIPER

Дана краевая задача.
Например, -u'' = 32, 0<x<1, -u'(0)=32, u(1)=32
Требуется решить методом конечных элементов.
Для этого мы сначала приводим краевую задачу к эквивалентной ей вариационной.
Я делал это методом умножения обеих частей уравнения на v(x) и взятия интеграла по частям.
В результате вылезает слагаемое вида u'(1)v(1)
Вопрос состоит в том, что если в этом члене производная имеется ввиду в обобщённом смысле, то такая формулировка некорректна, так как в точке эта производная не определена.
С другой стороны, вариационная задача ставится как раз для u из H1, то есть норма в H1 задаётся как раз через обобщённые производные.
Вариационная задача же эквивалентна нашей краевой.
Помогите разобраться, где тут ошибка... и если её нет, как тогда обходится такая "некорректность" ?

lenmas

Может, потому что v берется из H_1^o?

SNAIPER

то есть это произведение просто ноль тождественно?
вообще я как раз какое-то такое объяснение слышал...
можешь поподробнее объяснить?
разве u и v берутся не из одного и того же пространства в данном случае?
не Н_1^0 а H_1 "с волной" - подпространство H_1 при том, что v(1)=32. Про v(0) мы что-то говорим специально?

lenmas

Че-то ты не то думаешь. Посмотри как понимаются гранусловия в обобщенном смысле (там какая-то разность должна H_1^o принадлежать). А u берется из H_1 конечно, а вспомогательная v из H_1^o, чтобы не испортить граничные условия.

SNAIPER

в общем правильный ответ таков, что в H_1 функции непрерывны, поэтому мы можем говорить о их значении в точке. И вроде даже в обобщённом смысле.

lenmas

Что значит значение обобщенной функции в точке? :grin:
Правильный ответ такой, что берется какая-то фиксированная функция f из H_1 (типа граничная функция можно взять для примера какую-нибудь функцию из C^1, удовлетворяющую твоему условию, и говорится, что функция u на границе равна f, если u-f принадлежит H_1^o. Вопрос продолжения решения обобщенной задачи до гладкой и настоящее равенство на границе --- сложный отдельный вопрос, зависящий от конкретной задачи и геометрии границы (читай про обобщенное решение задачи Дирихле). В одномерном случае конечно можно продолжить функцию до непрерывной на отрезке, но что ты тогда будешь понимать под производной в граничной точке отрезка?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: