Альтернатива, или снова про вероятностные решения

dunkel68

Когда-то давно я спрашивал вот такую вещь:
с тех пор мне особо было не к спеху, да и не удел решать эту, несложную в общем-то задачу, но время течёт и...
короче, туплю страшно, но вроде по подсказкам я на верном пути, помогите добить до конца:
У уравнения [math]$u'' - (bu)' = u'' - bu' - b'u = 0$[/math] как бы должно быть 2 линейно независимых решения. Науке известно, что [math]$u_1 = e^B$[/math] — точно решение, где [math]$B = \int_0^x b(s)ds$[/math] (в чём не сложно убедиться подстановкой ну а зная одно — можно найти и второе: [math]$u_2 = u_1 \int_0^x \frac{ds}{u_1(s)}$[/math] (опять же, подстановкой проверено, что это решение). Так же в 1 строчку показывается, что их определитель Вронского = [math]$u_1$[/math], а посему точно никогда не ноль и они по-честному линейно независимы. Теперь собственно требуется показать, что либо [math]$\|u_1\|_{L^1(\mathbb R^1)} < \infty$[/math], либо [math]$\|u_2\|_{L^1(\mathbb R^1)} < \infty$[/math], ну либо ни то, ни другое, что в общем-то хорошо (ну а то решение, чья норма меньше бесконечности уже легко отнормировать до вероятностного).
На этом я завис. Помогите плз.

BoBochka

Ошибка в формуле для решения!
Правильная формула: u(x) = e^B(x где B(x) — первообразная b(x). Тогда u` = bu.
А у Вас вместо этого u(x) = e^(e^B(x где B(x) — первоообразная b(x). :(

dunkel68

да, поправил. это не ошибка, а опечатка :-)

BoBochka

А разве не очевидно, что в семействе функций вида u(x) = W(x) + Px+Q, где P и Q — числа, не более одного "вероятностного решения", то есть (насколько я понял) неотрицательной функции, интеграл от которой по всей действительной прямой равен 1? :confused:

dunkel68

эээ... ты [math]$u$[/math] в таком виде как представил?
[math]$u = C_1u_1 + C_2u_2 = u_1 \Big(C_1 + C_2\int_0^x \frac{ds}{u_1(s)}\Big)$[/math],
откуда твоё решение с [math]$x$[/math] в первой степени и константой?

BoBochka

Зачем Вам такая страшная форма решения?
u`` = (bu)`
u` = bu + C (*)
дальше было не то ... Продолжаем размышления :o

dunkel68

мне такая форма решения, как минимум, нужна потому, что вероятностное решение уравнения при определённых условиях на b пропорционально e^B, ну и решение e^B угадывается сразу и просто в записи.
собственно после нормального доказательства единственности там дальше как раз надо показать, что если вероятностное решение существует и на b наложены некоторые ограничения, то это вероятностное решение e^B и пропорционально
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: