Задача про норму оператора

satyana

A: L_2[0, pi] -> L_2[0, pi]
(Afx) = (интеграл от 0 до pi) f(t)cos(2x-2t)dt
||A|| - ?
Норма была посчитана. С использованием неравенства Коши-Буняковского. И даже правильно, как сказал семинарист. Равна она pi/sqrt(2).
Но надо привести пример функции, на котором мы норму достигаем.
И вроде как в данном случае норма точно не достигается. Но можно указать послед-ть функций, такую, что норма сходится к pi/sqrt(2).
Вот именно этого и не получается сделать...

satyana

Напомню, что норма в L_2[a,b] это
sqrt интеграл по [a, b]) f^2(t) dt)

elektronik

А каким способом была найдена норма?
Можно ход решения?

satyana

satyana


здесь |f| это ||f|| (норма)

satyana

потом по определению нормы оператора как супремума по всем x, таким, что ||x||<>0 от ||Ax||/||x||
получаем п/sqrt(2)

elektronik

Фишка в том, что соответственно нужно придумать такую последовательность функций, чтобы там, где стоит неравенство, разница была как можно меньше...

satyana

я в курсе, да. я примерно про это и писал...

satyana

вот только мне не понятно, как ее построить.
Мне предложили копать в сторону разложения в ряд Фурье.
f(t) = sum cos(kt)*a_k

satyana

тогда квадрат нормы функционала f будет pi/2 * sum (a_k)^2
а норма Af будет .... Ща посчитаю

satyana

_ квадрат_ нормы ||Af|| будет

и надо показать, что

satyana

алё, народ, есть идеи?

vital_m

Можно поискать собственные значения и собственные функции этого оператора.

satyana

я не знаком с таким методом.
поясни, что это и как поможет?

vital_m

Ясно, что оператор этот компактный.
Тогда с. ф-ии образуют базис и любая функция может быть записана в этом базисе.
Тогда норму посчитать может будет по-проще.
Вообще, может оказаться, что норма достигается на с. функциях.

satyana

норма не достигается вообще. Это исходя из того, что равенства не будет (в том месте, где применено нер-во К-Б).

vital_m

Я имел ввиду, что норма достигается на последовательности, состоящей
из
с. функций.

satyana

можно определение собственной функции?
я в К-Ф не нашел...

vital_m

Af (x) = \lambda f(x f не тожд. нуль.

satyana

Хм... не поможешь найти собственные функции?

vital_m

Скажи как cos(2x-2t) раскадывается ?

elektronik

Произведение косинусов плюс произведение синусов (2t и 2x)! Это?

vital_m

Слушай, друг, а попробуй-ка разложить кос. разности по формуле
этого любезного господина, а функцию искать в виде \sum a_k sin(2kx) + b_k cos(2kx).
Эти же функции ортогональны на [0,\pi]. Так будет удобнее.
А я пока тоже, посчитаю.

satyana

только учти, что f только от t зависит.

satyana

у меня тогда выходит, что Af = \pi/2 * a_1 * cos(2x) + \pi/2 * b_1 * sin(2x);

vital_m

Я и говорю, так, вроде, проще!

satyana

стоп, а в ряду фурье, вроде, еще a_0 есть.

vital_m

А почему у тебя pi/2 ?
Сам-то я с pi запутался.

vital_m

Да, еще есть поганый a_0.

satyana

посмотри плиз К-Ф на 393-394 страницах

vital_m

А что смотреть? a_0 отвечает k=0.

satyana

короче, там написано, что на [0, pi] можно только по 1, cos(x cos(2x ... раскладывать
то есть получается как раз, то, что я и делал (почти)

vital_m

Да, лохонулся я, как-всегда.
С с. функциями через полую сист. не очень получается.
Сразу спать стало охота, желание решать пропало Сорри.
Посмотри, как находить с. функции в К-Ф, "Интегральные уравнения Фредгольма".
Там как-раз твой случай P_i, Q_j.

satyana

Ап...

satyana

в этом посте на картинки не смотрите. там все немного по-другому. Самое важное, что берутся не четные, а нечетные k

vital_m

А ты пробовал найти с. функции?
Или я уже надоел со своими с. функциями?

satyana

семинарист просто говорит, что при разложении в косинусы все должно получиться...

Mary82

Тригонометрическая система 1, cos(2nx sin(2nx n=1,2,... образует ортогональный базис L_2[0, pi].
Легко проверить (используя упомянутую формулу косинуса разности, например что
1, cos(2nx sin(2nx n=2,3,... \in Ker A;
A(cos(2x = pi/2 cos(2x A(sin(2x = pi/2 sin(2x).
Разве из этого не следует, что ||A||=pi/2?
(по сути, A - это, с точностью до множителя pi/2, ортогональный проектор на пространство <cos(2x sin(2x)>)

satyana

я был бы очень рад, если бы норма была pi/2, а не pi/sqrt(2)! Несказанно рад. Но неравенство Коши-Буняковского нам не дает такого результата...
А теоретических знаний для проверки вашего предположения мне не хватает...
Если кто-нить может, разъясните мне...

satyana

норма pi/2 достигается на f = \lambda cos(2x)

satyana

последнее равенство проверь.

satyana

а во второй строке вроде бы плюс?

satyana

третья строка при k=1 нарушается. там будет \pi/2 sin(2x)

griz_a

Попробуй учесть этот синус, возвести в квадрат. Удвоенное произведение сдохнет, а синус квадрат посчитать. Вряд ли он изменит ответ...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: