Геометрический смысл интеграла Стильтеса

natali22061979

Кто-нибудь может нарисовать или дать ссылку, где про это почитать?

vovatroff

Могу предложит "экономическую" интерпретацию: допустим, нужно вычислить стоимость P
какого-то количества x товара, если известно, что цена на него зависит от объема закупки, например, за счет хитрых скидок, НДС, таможенных сборов и т.д.
Если зависимость P(x) хорошая, можно свести задачу к интегралу Римана. Если же
меняется скачками - то естественно рассмотреть интегрирование по Стилтьесу.
Можно и физические примеры привести - там, где есть неравномерно распределенная вдоль
прямой масса, заряд и т.п.
Насчет геометрических - не знаю, в голову не приходит. Разве что тривиальные случаи,
когда все фактически сводится к интегралу Римана.

natali22061979

Кхм, ну и на том спасибо.
То есть смысл введения этого интеграла в том, что он типа дружит с кусочно-непрерывными функциями? Я правильно понимаю?

natali22061979

Ну, что ж это такое? Полфорума математиков и никто ничего вразумительного по делу больше сказать не может?

traffic_speed

верхние и нижние суммы Дарбу псплощади фигур из пряпоугольников, выше\ниже рассматриваемой криволинейной фигуры.Графически как выглядит понимаешь? про (delta)t [i] ,стремящихся к 0, криволинейная фигура квадратируема и ее площадь равна инт Стильтьеса

lenmas

Может, объем пластинки под графиком функции y=f(x) переменной толщины p(x) (ну, это если функция, по которой интегрируют, имеет плотность, то-есть dg(x)=p(x)dx)? Ну, по крайней мере, хоть что-то.
PS А математики же - тупые, чего ты от них еще хочешь?

traffic_speed

PS А математики же - тупые, чего ты от них еще хочешь?
а вы простите ,остряк ,откуда?
валялась под столом,когда наткнулась на dfit
графиком функции y=f(x) переменной толщины p(x)

natali22061979

Графически как выглядит понимаешь?
Неа

narkom

где тут используется, что интеграл именно Стильтьеса? и как быть если рассматривается интеграл Лебега-Стильтьеса? как пример интеграл от функции Дирихле на (0,1 вполне себе Лебега Стильтьеса f(t)=t - вполне себе функции огр. вариации на этом отрезке.

vovatroff

Кхм, ну и на том спасибо.
То есть смысл введения этого интеграла в том, что он типа дружит с кусочно-непрерывными функциями? Я правильно понимаю?
Он типа дружит с интегралами, которые в смысле Римана содержали бы внутри
сумму дельта-функций и некоторой "хорошей" функции. Когда на плавное изменение
накладываются точечные импульсы. Например, точечные заряды плавают в облаке
непрерывно распределенного заряда — типа модели атома Томсона.
А с чего вы взяли, что у и.С. вообще должна быть какая-то нетривиальная
геом. интерпретация? Он не в связи с задачами вычисления площадей и объемов
был введен в математику, так что не обессудьте.

agszao

если не ошибаюсь то мождно понимать его как интегрирование с "весами". Если в римане мы честно считаем площадь, считая вклад всех абцисс одинаковым, то стильтьес на каждую абциссу "навешивает" определенную значимость - которая выражается ф-ей меры.

kolyan

ты свой вопрос немного не тем задал, ты у второкуров спроси - они еще помнят, мы уже нет
или Зорича там почитай

seregaohota

Причём на отдельную точку можно повесить меру как на весь остальной отрезок интегрирования [a,b].
В механике, например, сплошной Стильтьес. Момент инерции, например:
 J = \int R^2 dm  

Момент инерции играет роль массы только не для движения по прямой, а для вращения тела вокруг оси. Чем больше момент инерции - тем медленнее тело раскручивать заданным моментом сил.
И равен момент инерции квадрату расстояния до оси проинтегрированному по элементу массы тела. Если тело сплошное и у него есть плотность \rho как функция расстояния до оси R, то dm можно заменить на \rho(R) dR и интеграл превращается в обчный интеграл Римана.
Но представь, что тело гибрид сплошной среды и как в теормехе сосредоточенной массы - это скажем стержень от a=0 до b=4 плотности 2 плюс в точке R=3 сосредоточенная масса = 5. Тогда Стильтьес тебе даст момент инерции относительно начала координат (сводя к интегралу Римана и конечной сумме из одного слагаемого)
 J = \int_0^4 R^2 dm =  \int_0^4 R^2 * 2 dR + 3^2 * 5 

Здесь m(R) будет разрывной функцией от 0 до 3 она равна 2R, а от 3 до 4 она равна 5+2R.
Распределение масс может быть более хитрое, скачки например в бесконечном числе точек. На отрезок [0,1] непрерывной плотности наложи сосредоточенные массы m_n = 1/2^n в точках с координатами R_n=1-1/2^n для примера. Стильтьес позволяет считать всё это и не париться, получая в результате интеграл Римана плюс сходящийся ряд.
Хотя строго говоря тут правильнее рассматривать интеграл по мере Лебега. Да и по времени силы могут быть тоже обобщёнными. Скажем постоянная сила плюс ударная нагрузка (дельта функции) разной интенсивности в счётном множестве моментов времени и т.п.
Этот подход позволяет включить теорию удара в общую канву.
В механике сплошной среды насколько могу судить это позволяет рассматривать одним скопом как дифференциальные уравнения движения в гладком случае, так и условия на разрывах (ударные волны и тп). Просто уравнения понимаются в обобщённом смысле.
У Вильке в книжках по механике это было.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: