Погрешность формулы прямоугольников

stm7528886

Требуется оценить погрешность составной формулы прямоугольников на классе монотонных функций.
Может, кто-нибудь знает?

Sanych

Я бы сказал, что если функция на интервале меняется на df, то ошибка не более чем длина интервала dx умноженная на df этот самый. Если длины отрезков равны, то оценка ошибки - произведение длины интервала на разность функции на концах. Если не равны, то в худшем случае произведение длины самого большого отрезка на вариацию. Неужели же по этому поводу существует еще и какая-то сложная теория? Ну или можно еще говорить, что интеграл находится между результатами по формуле правых и левых прямоугольников. Получим еще одну оценку.
еще раз повторюсь, что это не есть официальная точка зрения

bmv007

O(h^3 h - длина отрезка разбиения
может быть даже max(f''(x*h^3

stm7528886

Почему

Sanych

h^3 я думаю для гладких функций и на каждом отрезке разбиения. Но только вот причем здесь монотонность?

stm7528886

Вот и я не знаю, причем

evgenija050179

Насколько я понимаю, погрешность для метода прямоугольников для монотонных функций (в случае, когда берутся "средние" прямоугольники и одинаковой ширины \delta, то есть общепринятый вариант) составляет примерно
\pm \delta / 2 *(f(x_max)-f(x_min
Эта оценка применима для любых МОНОТОННЫХ функций (а не только для непрерывных).

stm7528886

А как же h в квадрате, деленная на 24?

evgenija050179

\delta обозначает h
2. Для дифференцируемой функции можно, конечно, сделать следующее:
h/2*|f(x_max)-f(x_min)|<h/2*(N*h/2)*max(|f'|)
Но оценка после этого только ухудшится
3. То, о чем Вы говорите, то есть "порядок величины", вообще - то имеет практическую ценность тогда, когда h->0. Иначе, погрешность интегрирования будет сильно зависеть от высших производных интегрируемой функции.
Нам же известно лишь, что она монотонна.
4. Я согласен с , только считаю, что обычно прямоугольники берутся ни "левые", ни "правые", а средние, поэтому его результат надо разделить пополам
Прошу прощения, если ошибаюсь.

spiritmc

От того, какие берутся прямоугольники, оценка не меняется.
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

Sanych

Меняется-меняется, все честно. Точка, в которой мы приближаем, становится как бы дополнительной точкой разбиения. И делает реальную максимальную длину отрезка в 2 раза меньшей. Физический смысл точно такой

spiritmc

Она либо становится новой точкой разбиения, либо нет.
Это же не зависит от того, какая точка выбирается из отрезка, хоть случайно выбирай.
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

halithh

Еще бы кто вспомнил, чем отличается простая формула прямоугольников от составной.
(похоже, ты используешь первую, а девушке требуется вторая).

aqvamen

составная - присутствует разбиение, на каждом отрезке разбиения применена простая.

stm7528886

Составная - когда отрезок разбивают на N частей и на каждой части приближают по ф-ле прямоугольников

stm7528886

Судя по всему, Ваш ответ правильный

stm7528886

Только там не надо делить на 2.
Просто delta * (Fmax - Fmin)

stm7528886

Ведь формула прямоугольников - (b - a) * f a + b )/ 2)

spiritmc

\int\limits_a^b f(x) dx = f(\xi) (b-a)
Приближение --- \int\limits_a^b f(x) dx = f(x) (b-a где x --- произвольная точка внутри.
\Delta = | \int\limits_a^b f(x) dx - f(x) (b-a) | = | f(\xi) (b-a) - f(x) (b-a) |
= |b-a| \times |f(\xi) - f(x)| \leq | max f - min f| \times |b-a|.
В наихудшем случае, мы "угадываем" точку наибольшего значения, а функция "почти всюду" принимает наименьшее. Или наоборот.
От выбора x ничего не зависит. Хоть наугад будем кидать.
Так каким образом повышается точность?
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

Sanych

Функция монотонна, поэтому никак не может быть наибольшего значения в середине (или уж во всяком случае все меньшие принимаются только на половине отрезка)
Именно поэтому беря точку посередине мы в два раза выигрываем -за счет того, что ошибки слева и справа не складываются, а вычитаются. То есть ошибка не более h/2 \cdot \Delta f на каждом отрезке разбиения длины h. И не более (b-a)/2 \Delta f всего.
Пусть скажем функция возрастает.
ошибка в большую сторону, когда берем левую точку, может происходить на всем отрезке разбиения.
если же мы возьмем точку посередине, то только на половине отрезка. (Естественно, это компенсируется - тем, что для левых точек ошибки в меньшую сторону просто быть не может, а для средних тоже возможна на половине отрезка)

spiritmc

Берём правый склон, от нуля и докуда захотим, такой зависимости:
еxp(-(x/a)^2) / a (a>0).
a медленно двигаем к нулю.
Получаем всё большую и большую ошибку, мало отличающуюся от предсказываемой мною.
Поправлю: max -> sup, min -> inf.
---
...Я работаю антинаучным аферистом...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: