Мера Лебега множества точек

Marina32

отрезка [0,1], сост. из чисел в десят. разложении кот. цифра 2 встречается раньше цифры 3, чему равна?
мой вариант - 0.
Если нет, то напишите, плз, что получилось у вас.
Благодарен за любую помощь

Katty-e

/2 вроде. В сумме с теми, у которых тройка встречается раньше, и теми, которые не содержат одной/обеих цифр, получается весь отрезок, из симметрии "2 раньше 3" и "3 раньше 2" имеют одну меру, а мера остального - ноль, это просто.

elektronik

А цифра 3 обязательно должна входить?
В любом случае не 0: интервал [0,23; 0,24) полностью входит в это множество...

elektronik

Почему же 0?

Katty-e

Потому что множество чисел, у которых нет единицы на первом месте, имеет меру 0.9, нет на первых двух - 0.81 етс. Если нет двух цифр, мера соответственна равна 0.8, 0.64 етс.

Marina32

действительно, почему мера остального 0?

halithh

А чем здесь помогает симметрия?

Katty-e

Каждому числу, в котором двойка предшествует тройке, ставится в пару взаимно-однозначным соответствием число, у которого порядок противоположен. Меняем местами первые две такие цифры. Число остается на отрезке.

elektronik

Если нет единицы на первом месте, то 1 - 0,1 = 0,9, а если на первых двух, то 0,9 - 0,01 = 0,89! к 0 не сходится =)
сходится к 8/9!

Marina32

ну, кажется, тем, что искомая мера и мера мно-ва, у кот. 3 раньше 2 равны.
а мера остального равна 0

halithh

почему при этом морфизме мера не изменяется?

elektronik

Сорри я сглючил! Сейчас обдумаю своё поведение... =)
Процесс такой: вначале 1 (все числа далее 0,1 от этого те, которые имеют 1 на первом месте - 1-0,1*1 = 0,9= 1*0,9
0,9 - 0,1*0,9 = 0,9*0,9
Сходится к 0! гм... не должно быть так!
Не могу понять! мне казалось, что не 0!
Попробую решить, может, другим способом там видно будет =)

Katty-e

Цифры в числе разыгрываются независимо, каждая из них принимает значение от 0 до 9, итого без единицы на первом и втором местах (1-0.11-0.1)=0.81.
Ты, вероятно, ошибаешься в том месте, где считаешь количество чисел С единицей на первых двух местах. Их мера берется из отрезков [0.1,0.2]+[0.21,0.22]+[0.31,0.32]+...+[0.91,0.92], суммарная длина которых есть 0.19.

Marina32

то есть ответ 1/18 ?

Katty-e

Двойное применение равно тождественному.

halithh

Что это дает? Вообще говоря, отображение разрывное.

halithh

Нетрудно придумать отображение интервала (0,1) на канторово множество, но из этого не следует совпадение мер.

elektronik

На самом деле придумать-то трудно, просто известно, что канторово множество имеет мощность континуума, как и отрезок [0,1], значит, такое отображение существует.
Но этот случай почти очевиден...

Marina32

пока, из того, что я прочитал, получается, что ответ равен 0.19?
на каком варианте остановились?

Katty-e

Я уже умею проследить одношаговую эволюцию отрезков и показать, что отрезок "2 на каком-то фикс. месте, 3 позже на фикс. месте", имеющий меру не ноль, переходит при этом в похожий отрезок той же длины.
Общего утверждения насчет сохранения меры не вспомнил. Все доказательства этого свойства, приходящие в голову, конструктивные.

Katty-e

Оно не есть тождественное в квадрате. А так - см. предыдущий пост.

elektronik

Пока ответ 1/2! ...

Katty-e

Словом, я уже уверен в своем решении. Писать не хочу, идеи были выше - переводим отрезок в другой, смотрим на совпадение длин.

Marina32

а ты с этим ответом согласился?

elektronik

Мда! не вижу ошибки - значит, правильно - пришлось пока согласиться

halithh

Оно не есть тождественное в квадрате

Если построить изоморфизм канторова множества и его дополнения, то условие квадратности выполняться будет.

Katty-e

Равномерное распределение на отрезке означает просто, что все цифры разыгрываются независимо, следовательно, искомая мера есть вероятность того, что цифра 2 встретится раньше 3. Поскольку все исходы равновероятны для отдельной цифры, эта вероятность равна противоположному исходу ( заводим случайные величины, равные начальным, только меняющие местами два исхода. Они вновь независимы и дают равномерное распределение на отрезке а сумма этих двух вероятностей равна 1. Ответ 1/2.

Katty-e

ОК, неправ. Я и говорю - общего утверждения вспомнить не могу, теперь уже и не смогу , спасибо.

elektronik

Вот! небольшой вопрос.
Есть число 0,233, какое число ему поставить в соответствии?

Katty-e

323
Ушел заниматься, сорри .

elektronik

У меня такая идея: сожмём наше множество в 10 раз, то есть добавим нолик после запятой. Полученное множество - входит в наше.
Более того, если вставить после запятой не 2 и не 3, то получим множество, являющееся подмножеством нашего.
Таким образом, если М мера Лебега нашего, то
М = 0,8 * М + 0,1 * М1, где М1 - мера Лебега множества чисел из [0,1], в десятичной записи которых есть цифра 3 (0,1*М1 - это мера Лебега множества чисел из [0,1], начинающихся на "0,2" и имеющих в десятичной записи цифру 3).
М1, как уже выяснили, есть 1.
0,2 * М = 0,1 * М1 => М = 0,5!

elektronik

Имелось ввиду, что можно поставить в соответствие 0,323 или же 0,332! Дальже - хуже!

Katty-e

Плохо читаешь мое решение. Первые цифры переходят друг в друга .

vital_m

Пусть A -- искомое множество.
Пусть также B_n = { x \in A | 2 впервые встречается на n-м месте }
Ясно, что B_n не пересекаются.
Кроме того, A = \cup_{n=1}^{\infty} B_n \cup C,
где C множество чисел без двоек.
Легко показать,что \mu (C) = 0.
Найдем меру множества B_n.
Пусть x произвольное число из B_n.
От 1-го до n-1 -го места в десятичном разложении x нет не 2 ни 3.
На n-м месте в x стоит 2.
Отсюда \mu (B_n) = (8/10)^{n-1} * 1/10.
Найдем меру A.
\mu (A) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu (B_n) = \sum_{n=1}^{\infty} (8/10)^{n-1} * 1/10 = 1/2.

Marina32

а что такое cup?
замыкание?

vital_m

Объединение.

Marina32

не понял...
объединение чего с чем?что означает запись cup C?

Vitaminka

ты что на техе ничего не писал объединение множества с другим
B_n с С

vital_m

A = A_1 \cup C
A_1 = \cup_{n=1}^{\infty} B_n = B_1 \cup B_2 \cup ........

Marina32

ага, все понял.
всем, кто участвовал,- по 5!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: