Как решаются задачи по линейному анализу

chyk2005

 
Даны 6 векторов:
альфа1(1,3,0,4)
альфа2(2,-1,-2,-1)
альфа3(0,1,1,2)
альфа4(1,1,1,3)
альфа5(1,0,-2,-1)
альфа6(1,0,1,2)
дополнить линейно независимую часть до базиса системы векторов и все векторы, не вошедшие в базис, разложить по базису

Смысл вроде понимаю: 4-хмерное пространство. В качестве базиса можно выбрать любые 4 линейно независимые вектора, правильно? Остальные можно представить в виде их линейной комбинации. В задаче, судя по всему, линейно независимых будет только 3, 4-м возьмем ортогональный им.
Есть ли какой-нить метод найти эти независимые вектора? :o Или сидеть мне их попарно сравнивать?
Ваще не помню, как это все делалось. Мож кто подскажет, в каком порядке ваще задачку решать: по пунктам если можно.

vvasilevskiy

Составь матрицу и найди какой-нибудь ее базисный минор, он будет лежать на искомых векторах, а далее системы решаешь для нахождения разложения оставшихся

chyk2005

так... блин :ooo: как это у меня все в голове: отрубаю я щас кусок матрицы, чтоб остался кусок 4 на 4. Считаю определитель, он скорей всего 0 будет. Т.е. надо будет 3х3 считать наверн. А как доказать, что все миноры 4-го порядка понулям будут? :o Или это из другой оперы совсем...
Лан, буду дальше позориться Объясни на пальцах, как найти базисный минор? :grin:

kora_duba

Берёшь первый вектор, какой больше понравится - v_1.
2. Дальше к уже выбранным векторам добавляешь очередной и смотришь, выражается он через них или нет(для этого надо решить систему x_1v_1+x_2_v2+...+x_nv_n=v_{n+1} или убедиться, что она несовместна). Если нет - добавляешь его в выбранные. Иначе переходишь к сл. вектору.
3. В конце наберёшь как раз сколько векторов, какова размерность подпространства, на эти вектора натянутого.

vvasilevskiy

Не так делай, применяй метод Гаусса но с умомм и сразу увидишь где минор

vvasilevskiy

А вот как это с умом чтобы не сдвигать миноры я тоже подзабыл щас вспомнить попробую

kora_duba

Ну, в данном случае очевидно(см. первые три компоненты что
1 0 1 2
0 1 1 2
1 0 -2 -1
линейно независимы. Дальше надо либо ещё один найти, либо все те выразить через эти. Гаусса руками делать противно.

chyk2005

докачался учебник, сижу "освежаю в памяти" :grin: всем сочувствующим - спасибо :)

mong

С за ФФ ! :mad:

kora_duba

Если взять вектора
1 0 1 2
0 1 1 2
1 0 -2 -1
Вычесть из третьего первый, после чего новый третий разделить на 3:
1 0 1 2
0 1 1 2
0 0 -3 -3 ---> 0 0 1 1
А потом вычесть третий из первых двух, получим вот что:
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
Теперь 1 1 1 3 и 1 3 0 4 выражаются через эти три вектора
а 2 -1 -2 1 - нет. Так что изначально ранг матрицы был 4. Как выражать оставшиеся два вектора через начальные, думаю, понятно.

chyk2005

а чо тогда подразумевается под словами "дополнить"?

kora_duba

Ну, там, наверное, куча подобных задач, в общем случае надо добавить для получения базиса несколько векторов. Чтобы формулировка была одна на все случаи жизни, написали так. В данном случае формально можно сказать, что добавляется 0 векторов :)
Кстати, базис системы векторов и базис всего пространства - это разные вещи, так что вроде как для получения базиса данной системы векторов всегда достаточно только векторов из этой системы. В этом смысле 'добавить' действительно здесь не очень уместно.

chyk2005

ну да, посмотрел на задания в реале - вопрос снимается :grin:
а то блин че прислали, то и решаем

chyk2005

еще и задание неправильно прислали :grin:

mtk79

В задаче, судя по всему, линейно независимых будет только 3, 4-м возьмем ортогональный им.
Только, если предварительно снабдите пространство скалярным произведением

chyk2005

Все новые вопросы :grin:
Имеется фундаментальная система решений однородной системы уравнений (в виде трех четырехмерных векторов). Как по ней воспроизвести саму систему? Наверняка есть какой-нибудь стандартный метод :o а то, подозреваю, я тут сижу велосипед изобретаю.
И еще, правильно ли я понимаю, что: Поскольку неизвестных в системе 4, а самих линейно независимых фундаментальных решений 3, то искомая система, вообще говоря, из одного уравнения будет состоять. В смысле ее ранг единичке будет равен, самих уравнений-то можно много напихать, только они все пропорциональны будут, правильно?

vvasilevskiy

Непонятно что ты подразумеваешь под искомой системой? И что понимать под воспроизвести систему?

chyk2005

Ну, самые простые задачи выглядят так: дана система, нужно найти систему фундаментальных решений
А тут наоборот :)

chyk2005

Понятно, что таких систем можно много напридумывать. Нужно хотя бы одно, для которой фундаментальная система решений выражалась бы такими векторами.

vvasilevskiy

Представь себе каждую строчку системы как скалярное произведение, некоторого неизвестного вектора и вектора с известными коэфф-ми. Три таких скалярных произведения равны нулю.
\Теперь представь обратную задачу. У тебя известны неизвестные вектора (3 вектора ФСР по 4 координаты). И надо найти 12 неизвестных коэффициентов.
Берешь 4 коэффициента первой строки и составляешь систему с известными векторами ФСР как с коэффициентами (3 уравнения с 4 неизвестными).
Потом то же самое со второй и третьей строкой.
Итого тебе надо составить 3 новых однородных системы и решить их, каждая из них решается неоднозначно.

vvasilevskiy

chyk2005

чето вроде такое и пытался провернуть, но почему-то подумалось, что как-то через жопу это

vvasilevskiy

Не думаю, каждая строка определена с точностью до постоянного множителя. ФСР имеет размерность три, поэтому все системы которые мы составляем имеют ФСР размерностью 1-т.е как раз определены до постоянного множителя.
Ну и так как в искомой системе минимум (а можно и больше придумать) 12 коэффициентов., то по любому 3 системы надо решить.
Я тоже сначала подумал, что тут что-то проще, а потом подумал и понял, что задача не такая простая и надо поработать-представь что у тебя известны 3 вектора в 4мерном пространстве, тебе нужно найти еще 3 так, чтобы каждый из искомых был ортогонален каждому из данных (а ФСР не обязано быть ортогонально т.е даже представив это геометрически понимаешь, что это не так просто

svetik5623190

И.М. Гельфанд "Лекции по линейной алгебре" - хорошая книга ;)

chyk2005

усы на фотке только ща разглядел :grin:
спасибо за то, что вселил в меня увернность в свои силы :) вроде решил, вроде даже правильно
тем более, что в моем частном случае задача проще оказалась, т.к. ранг искомой системы все-таки единичка (ну или я ваще гоню - тогда швах) и решал я одну систему. Все, как всегда, очень просто, да - если знать что делать
ту Гонобобель: не было хорошей книги под рукой :) хорошо хоть плохая была
теперь я знаю по линалу гораздо больше чем на 1-м курсе :grin:
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: