пространство голоморфных в открытом круге ф-ий

tintin

Задали вот мне задачку...
Доказать, что пространство голоморфных в открытом круге ф-ий с интегрируемым в квадрате модулем есть гильбертово пр-во!
По сути надо д-ть полноту.
В Кирилове-Гвишиане я нашла похожую задаку N467. В указании говорится, что с помощью N465 надо док-ть, что если Fn -> в L^2, то на каждом компакте сх-сть равномерна.
Но вот никак не пойму как использовать N465! Там дана посл-сть 1, z, z^2, z^3,...
Сказано ортонормировать её. Дан ответ: sqrtk+1) / pi) * z^k.
Помогите, пожалуйста!

afony

Покажем, что если последовательность аналитических функций {f_k(z)} сходится в L_2 по площади в единичном круге D, то она сходится равномерно на каждом круге B с центром в точке z_0 радиуса r, лежащем строго внутри D. Действительно, для e<1-|z_0|-r, то эта последовательность функций сходится в L_2 (а значит и в L_1) на почти каждой окружности C_R с центром в z_0 и радиусом R: r<R<r+e. Зафиксируем одно из таких R. Запишем интегральную формулу Коши для разности f_k(z)-f_m(z) в круге B: f_k(z)-f_m(z) =1/(2\pi i)\int_{C_R} (f_k(\zeta)-f_m(\zeta) )/(\zeta-z) d\zeta. Имеем ||f_k-f_m||_{C(B)} \le ||f_k-f_m||_{L_1(C_R)}/(R-r) \to 0 при min{k,m}\to \infty. То есть равномерная сходимость на B доказана. По теореме Вейерштрасса о пределе равномерно сходящейся всюду внутри круга D последовательности аналитических функций, предельная функция также будет аналитической.

tintin

Спасибочки вам ,молодой человек...

afony

Пожалуйста, юная леди .
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: