как доказать, что отображение не сюръективно?

boomergan

Есть экспоненциальное отображение exp: sl_2(R) ->SL_2(R
sl_2(R) - действительные матрицы (2 на 2) со следом нуль,
SL_2(R)- действительные матрицы (2 на 2) с определителем единица.
Как доказать, что это отображение не сюръективно?

assasin

Докажем, например, что нельзя получить матрицу D=diag{-2;-0,5}.
Пусть нашлась матрица A, т.ч. expA=D. Тогда легко видеть, что ЖНФ матрицы A есть диагональная матрица с элементами z и -z, где z удовлетворяет exp(z)=-2, т.е. z мнимое.
Пусть A=C^{-1} diag(z;-z) C. Тогда expA=C^{-1} diag{-2;-0,5} C. Тогда из условия C^{-1} diag{-2;-0,5} C=diag{-2;-0,5}, или diag{-2;-0,5} C=С diag{-2;-0,5}, следует, что C диагональна. Отсюда A=diag(z;-z) невещественная.

boomergan

А почему ЖНФ матрицы А имеет вид: diag{z;-z}?

topboy84

потому, что след 0

boomergan

Да, точно.

boomergan

А почему верно это предложение:
Пусть A=C^{-1} diag(z;-z) C. Тогда expA=C^{-1} diag{-2;-0,5} C. ?

assasin

Потому что A^n=C^{-1} diag{z;-z}^n C. Осталось вспомнить определение экспоненты.

assasin

А почему ЖНФ матрицы А имеет вид: diag{z;-z}?
ЖНФ либо диагональна, либо есть жорданова клетка. Во втором случае собственные значения вещественны для вещественной матрицы(в данном случае нулевые а потому собственные числа экспоненты положительны.

boomergan

В ответ на:
--------------------------------------------------------------------------------
А почему ЖНФ матрицы А имеет вид: diag{z;-z}?
--------------------------------------------------------------------------------
Наверное, это следует также из того, что след матрицы равен сумме ее характеристических чисел.

boomergan

Спасибо всем бооольшое!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: