[функан] С - св-во Лузина

Marina32

Д-ть, что если f изм. отн класс. меры на R(вещ. ось то для любого \epsilon >0 сущ-т непр g, что \mu(x: f(x) не равно g(x < \epsilon
Ясно, что док-во следует из теоремы Лузина, но там аналогичный критерий формулируется для конечного отрезка прямой R. А как его продлить на всю ось, че-то не могу понять...

griz_a

А в чем проблема?
Если я не глючу, то хватает простого финта - разбиваем R на отрезки длины 0,1. Нумеруем их.
На k-ом отрезке ищем непрерывную для eps/2^(k+1). Соединяем края непрерывных, отступая по eps/2^(k+1 скажем влево. И все дела вроде.

Marina32

thx. но кое-что хочется уточнить...
На k-ом отрезке ищем непрерывную для eps/2^(k+1).   
что мы ищем на к-ом отрезке непрерывное? g имелось в виду, я думаю.
Соединяем края непрерывных, отступая по eps/2^(k+1 скажем влево. И все дела вроде. 
а как соединить края непр. ф-й?

griz_a

Ясен пень. А потом на левом маленьком кусочке отрезка соединяем правый конец предыдущей с левым следующей, чтобы добиться непрерывности везде...

Marina32

а соединяем-то как?

griz_a

Да хоть линейно. Главное, что на множестве меры eps/2^(k+1) на k-ом отрезке.

Marina32

вроде более-менее ясно. еще раз пасиба
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: