найти максимум функции/решить нелинейное уравнение

shale60

Привет!
Мне нужно найти максимум функции:
,
Я нашёл производную, она такая:

Задача сводится к нахождению нулей функции:

А вот дальше ступор. Можно как-то аналитически это разрешить?
Синус через комплексную экспоненту представил, но лучше не стало

sashok01

t=НОК(1/n,1/m)*Pi*k - точно корни
АПД. НОК вообще говоря редко применимо, например, если n=sqrt(2)..., m=sqrt(3).., то вообще не получится найти ни одного точного корня, кроме t=0

shale60

Дам больше ограничений:
Исходная функция выходит на стационарный режим (для некого T функция находится в определенной наперед заданной окрестности) , там наложены соответствующие ограничения на параметры, если нужно, я могу выписать их в явном виде
Так что максимум заведомо есть (возможно, при t->inf при некоторых значения параметра, но это в целом не интересно).
Если кому-то это скажет больше, то данная функция - это переходная характеристика, реакция системы на step.
m и n - просто действительные числа.
В любом случае, спасибо за ответ

sashok01

ну вообще раз экспоненты в первоначальной задаче убывают, то ожидать максимум логичнее как раз при малых t. То есть смотреть на первые несколько корней уравнения для производной.
Уравнение для производных можно преобразовать к виду sin(phi)*sin(nx)+cos(phi)*sin(mx)=0, где sin(phi)=m*e^(ax)/sqrt(m^2*e^(2ax)+n^2*e^(2bx может, это что-то даст

shale60

то ожидать максимум логичнее как раз при малых t
да, именно так и происходит.
Возможен просто один вырожденный случай для определенных значений параметра, когда функция монотонно возрастает.
И ещё глобальный максимум может оказаться не в первом локальном максимуме. Но тут уже меньшая проблема
Уравнение для производных можно преобразовать к виду sin(phi)*sin(nx)+cos(phi)*sin(mx)=0, где sin(phi)=m*e^(ax)/sqrt(m^2*e^(2ax)+n^2*e^(2bx может, это что-то даст

спасибо, попробую!
в целом, нужно до конца вот ещё что проработать: разбить на 2 области: в области, где sin(nx) и sin(mx) одного знака - то иных решений, кроме предложенных выше нет из-за положительности обоих слагаемых.
А когда синусы разных знаков, то у нас получается уже разность

sashok01

А когда синусы разных знаков, то у нас получается уже разность
Вангую, что в этом случае точно найти ничего не получится. А точные корни, когда sin(mx)=sin(nx)=0, как раз не очень интересны.
Можно поиграться с графиками в wolframalpha, там видно - что первый корень уравнения для производных - локальный максимум, второй - локальный минимум, третий - точный корень x=Pi, локальный максимум.
* Точные корни, получаемые из условий sin(nx)=sin(mx)=0, вообще могут отсутствовать при произвольных n и m (таких, что m/n иррационально)

sashok01

Тебе следует рассмотреть частные случаи, в которых приближенное решение может быть получено с хорошей точностью
1) ksi=eta (здесь будет даже точное решение)
2) 1>>ksi>>eta
3) ksi<<eta<<1
4) ksi>>eta>>0
5) 0<<ksi<<eta
Параметр omega не влияет ни на что по существу (уравнение для производных можно на него сократить и сделать замену z = t*omega)

lena1978

нихрена не вижу в своём тёмном скине
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: