Посчитать комплексный интеграл

sexibogusvovs

Общий вид такой:
$[math]$\int\limits_t^\infty\exp[i s (x^y-(x-t)^y)]\exp[-x^y]dx.$[/math]$
y - известно, это некое число от 0 до 1. t - неизвестно, параметр, но действительный. i - мнимая единица, s - ещё один действительный параметр.
Можно рассмотреть частный случай, когда y = 1/n, где n-известное натуральное число.
Какие вообще соображения, как считать подобный интеграл? Есть ли какие-то пособия по исчислению интегралов от комплексно-значных функций? Т.к. эта задача возникает при исчислении характеристической функции (мат.стат. то, может, есть отдельные пособия по исчислению хар.функций?
Спасибо.

demiurg

$[math]$\int\limits_t^\infty\exp[i s (x^y-(x-t)^y)]\exp[-x^y]dx.$[/math]$
Пользуйтесь math



[math]$\int\limits_t^\infty\exp[i s (x^y-(x-t)^y)]\exp[-x^y]dx.$[/math]

svetik5623190

Есть ли какие-то пособия по исчислению интегралов от комплексно-значных функций?

Есть целый предмет, называется "Комплексный анализ", он же "теория функций комплекского переменного", он же "теория аналитических функций". Читается на мехмате на 3 курсе, а так же в том или ином виде преподаётся почти на всех технических факультетах нашей Родины.
Учебников и задачников масса.

griz_a

И какую характеристическую функцию надо посчитать?

sexibogusvovs

Есть целый предмет, называется "Комплексный анализ", он же "теория функций комплекского переменного", он же "теория аналитических функций". Читается на мехмате на 3 курсе, а так же в том или ином виде преподаётся почти на всех технических факультетах нашей Родины.
Учебников и задачников масса.

Знаю. Я сам с ВМК. Курс был. Книга, по которой мы учились, тоже есть. Там есть некоторые техники интегрирования, но к этому интегралу совсем не подходят.
Хотелось бы нечто более конкретное из массы учебников. Именно с прицелом на интегрирование. Что порекомендуете?

sexibogusvovs

И какую характеристическую функцию надо посчитать?

Нужно посчтитать характеристическую функцию случайной величины $[math]$|x|^y-|x-t|^y$[/math]$ при условии, что x распределено с плотностью $[math]$C*exp[-|x|^y]$[/math]$ . C - нормировочная константа, y - от 0 до 1. t - больше 0.

griz_a

Уверен, что тебе нужно взять его в общем виде при всех t,y?
Сомневаюсь, что у параметрического интеграла типа
$[math]$\int cos x^y sin(x-t)^y e^{-x^y} dx$[/math]$ есть разумное выражение

sexibogusvovs

Уверен, что тебе нужно взять его в общем виде при всех t,y?

t - точно произвольное. Больше 0 - всё, что известно. y необязательно неизвестный параметр. Можно взять какую-нибудь константу. Главное, чтоб от 0 до 1.

upsji

Возьми y=1/2, получишь гауссовское распределение. А для него уже вседавно посчитано.

upsji

Ой, ошиблась

( Нужно y=2. А тебе надо [0,1]

491593

Есть целый предмет, называется "Комплексный анализ", он же "теория функций комплекского переменного", он же "теория аналитических функций". Читается на мехмате на 3 курсе, а так же в том или ином виде преподаётся почти на всех технических факультетах нашей Родины.

Боюсь что это мимо в данном случае. Не всякая задача, где есть мнимая единица, относится к комплану.

491593

Есть ли какие-то пособия по исчислению интегралов от комплексно-значных функций?

я сильно в этом сомневаюсь, ибо вопрос в некотором смысле " неестественный". Если нет никакой специфики, то комплекснозначная функция вещественной переменной это по сути две вещественные функции от вещественной переменной. И все.
Тебе нужно имено пособие по характеристическим функциям.

sexibogusvovs

я сильно в этом сомневаюсь, ибо вопрос в некотором смысле " неестественный". Если нет никакой специфики, то комплекснозначная функция вещественной переменной это по сути две вещественные функции от вещественной переменной. И все.

Это понятно. Но ведь многие интегралы от действительных переменных считаются через вычеты, через теорию комплексного интегрирования.
Кстати, задача несколько упростилась (или так показалось) на вид. Если характеристическую функцию представить как многочлен от s, то интересуют члены до s^2. Т.е. свёлось к исчислению двух интегралов::
$[math]$\int\limits_t^\infty (x^y-(x-t)^y)\exp[-x^y]dx.$[/math]$
$[math]$\int\limits_t^\infty (x^y-(x-t)^y)^2\exp[-x^y]dx.$[/math]$
t > 0 - параметр. y можно взять любым от 0 до 1 (не включительно).
Может, тут есть какие идеи, как считать? Вещественным интегрированием у меня не получается. Я всё же считаю, что тут только через вычеты. Но как?

griz_a

Беда в том, что интеграл суть неопределенный, а вычеты полезны скорее в определенных все же.
Замени $[math]$x^y$[/math]$ на z, увидишь, что у тебя интегралы либо наподобие того, который стоит в гамма функции - считаются явно такие неопределенные довольно редко, часто приводят к функциям типа интеграл от $[math]$e^{-x^2}$[/math]$ и т.п. Так что я сильно сомневаюсь, что тут есть разумный ответ

491593

Может, тут есть какие идеи, как считать?

Вам их нужно аналитически вычислить?
Это точно невозможно, потому что например при y=2 первый интеграл не вычисляется. Ибо распадается на вычисляемый интеграл и заведомо невычисляемый " интеграл ошибок".

sexibogusvovs

Беда в том, что интеграл суть неопределенный, а вычеты полезны скорее в определенных все же.

Неопределённость можно убрать. Заменой $[math]$z = x - t$[/math]$ . Тогда пределы интегрирования будут от 0 до бесконечности.

Вам их нужно аналитически вычислить?
Это точно невозможно, потому что например при y=2 первый интеграл не вычисляется. Ибо распадается на вычисляемый интеграл и заведомо невычисляемый " интеграл ошибок".

y < 1 по условию. Можно взять 1/2 для простоты

Аналитически, наверное, не обязательно. Результат интегрирования потом будет раскладываться в ряд по t в точке 0 до членов порядка t^2.

491593

Аналитически, наверное, не обязательно.

сформулируй тогда плиз максимально конкретно что требуется от этого интеграла. Поставь задачу максимально точно.

griz_a

В равномерно сходящемся интеграле какая разница, раскладывать по t до интегрирования или после?

griz_a

Неопределённость можно убрать

Так любой неопределенный интеграл можно свести к параметрическому определенному

sexibogusvovs

сформулируй тогда плиз максимально конкретно что требуется от этого интеграла. Поставь задачу максимально точно.

Есть распределение: $[math]$С\exp[-|x|^y].$[/math]$ С-нормировочная константа, y - константа от 0 до 1 (любую можно взять, не принципиально). Рассматривается случайная величина $[math]$|x|^y-|x-t|^y.$[/math]$ t - неизвестный параметр, больше 0.
Изначально задача ставится, как исчисление характеристической функции этой случайной величины при условии, что x распределено с вышеуказанной плотностью распределения. Т.е. нужно посчитать интеграл:
$[math]$C\int\limits_{-\infty}^\infty\exp[i s (|x|^y-|x-t|^y)]\exp[-|x|^y]dx.$[/math]$
Предположим, что характеристическая функция посчиталась $[math]$f(s, t).$[/math]$ Далее она раскладывается по t в ряд в точке 0 до t^2.
Вот такая задача.
Есть некие соображения относительно того, как будет выглядеть (хочется, чтоб так выглядело финальное разложение в ряд. Соображения проистекают из вида такого разложения для случая y = 1 (распределение Лапласа). Так вот, предполагается, что ряд будет выглядеть так: $[math]$1+A i s t^2-B s^2 t^2,$[/math]$ а дальше следуют уже t^3, t^4 и другие неинтересующие степени, где A и B - некоторые константы, зависящие от выбора y. Т.е. t^2 целиком сосредоточено на s и s^2 переменной s функции f(s, t).
Отсюда можно $[math]$i s (|x|^y-|x-t|^y)$[/math]$ в выражении для характеристической функции подставить в разложение $[math]$\exp(z)$[/math]$ до z^2, т.е. $[math]$\exp[i s (|x|^y-|x-t|^y)]=1+i s (|x|^y-|x-t|^y)-0.5 s^2 (|x|^y-|x-t|^y)^2$[/math]$ . Тогда исчисление характеристической функции сведётся к трём интегралам
$[math]$\int\limits_{-\infty}^\infty\exp[-|x|^y]dx.$[/math]$
$[math]$\int\limits_{-\infty}^\infty (|x|^y-|x-t|^y)\exp[-|x|^y]dx.$[/math]$
$[math]$\int\limits_{-\infty}^\infty (|x|^y-|x-t|^y)^2\exp[-|x|^y]dx.$[/math]$
Которые снова необходимо разложить до t^2, в конце концов.

491593

А, ну это стандартная задача дифференцирования интеграла с параметром по параметру. Основной прием - " занести" дифференцирование по параметру под интеграл. Естественно возможно это не всегда, точные условия не помню, но по-моему там требуеться равномерная сходимость толи самого интеграла толи еще и продифференцирванного. Мне кажется это должно быть в Демидовиче.

Похожие темы:

Оставить комментарий