Re: Бьюсь над олимпиадной задачей

NHGKU2

Вообще-то, как минимум должно быть задано a_1

Brodnik

вроде, по первой ветке решений подкоренное выражение отрицательно будет
ЗЫ вру, всегда ноль будет

a7137928

Начинаем выписывать последовательность.
a1=2
a2=6 или 7
Для a3 получаем уже три решения, они выглядят как
(a1,a2,a3)= (1,6,12) (1,6,13) (1,7,15)
Для a4:
(1,6,12,20) (1,6,12,21) (1,6,13,23) (1,7,15,26).
Итого замечаем: всегда есть решение a_n=n(n+1). Назовем его "базовым".
Оно порождает два решения для a_{n+1}:
a_{n+1}= (n+1n+2) или (n+1n+2)+1
Решение вида a_n=n(n+1)+1, где n>=2, порождает следующий член последовательности
a_{n+1}=(n+1n+2)+3
Решение вида a_n=n(n+1)+3, где n>=3, порождает следующий член последовательности
a_{n+1}=(n+1n+2)+6
И так далее. По-хорошему, здесь нужно нарисовать дерево, в котором крайняя левая ветвь ("базовое решение") все время делится на две, а остальные ветви имеют лишь одного потомка.
Таким образом, заданное соотношение дает нам n различных a_n:
базовый n(n+1 и дальше от него n(n+1)+1, n(n+1)+3, n(n+1)+6, n(n+1)+10, ... , n(n+1)+k(k+1)/2, ...
Доказывать в лом, от индукции оно никуда не денется.
Итого для a2008 будет получаться 2008 различных решений.

a7137928

Строже: покажем индукционный переход.
Сначала для "базового" решения, положим a_n=n(n+1)
Из исходного уравнения получаем
[math]$$a_{n+1}-(n+1n+2)=\sqrt{a_{n+1}-(n+1n+2)}$$[/math]
Уравнение [math]$$t=\sqrt {t}$$[/math] имеет два решения, 0 и 1. Поэтому
[math]$$a_{n+1}=(n+1n+2)$$[/math] или [math]$$(n+1n+2)+1$$[/math]
Теперь для общего решения, положим a_n=n(n+1) + k(k+1)/2. Тогда
[math]$$a_{n+1}-(n+1n+2)-\frac{k(k+1)}{2}=\sqrt{a_{n+1}-(n+1n+2)+\frac{k(k+1)}{2}}$$[/math]
Делаем замену [math]$$\sqrt{a_{n+1}-(n+1n+2)+\frac{k(k+1)}{2}}=t$$[/math]:
[math]$$t^2-t-k(k+1)=0, t>=0$$[/math]
Единственное решение t=k+1, откуда
[math]$$a_{n+1}=(n+1n+2)+\frac{(k+1k+2)}{2}$$[/math]

a7137928

это я понимаю,но судя по заданию в ответе должно быть одно число
Йопрст.
Я тебе все показал. Все решения найдены (для задачи, сформулированной в первом посте).
А что там у тебя "должно быть" в ответе - этого я не знаю. Перечитай условие, может упустил что-то.

a7137928

Кстати, появилась гипотеза, а вдруг задача звучит как "при каком n число a_n может быть равно 2008".
Если я правильно нарисовал в экселе, то это возможно исключительно при n=44 (a44=44*45+7*8/2). Доказывать строго влом, надо с делимостью возиться и т.п.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: