о сходимости норм операторов

igrevssev

Дорогие форумчане, помогите разобраться с задачкой:
Дана последовательность линейных невырожденных операторов в конечномерном пространстве. Известно, что последовательность норм этих операторов стремится к бесконечности. Сходится ли в этом случае последовательность норм обратных операторов к нулю?
Справа налево у меня получилось, а вот в эту сторону - никак
И еще, может кто кинет в меня формулой, связывающей норму произведения операторов и нормы самих операторов, чтобы между ними был знак "больше". Или такой не существует?

scorobei42ru

рассмотри, например, степени оператора в двумерном пространстве, который умножает первый базисный вектор на [math]2[/math] , а второй базисный вектор умножает на [math]$\frac{1}{2}$[/math]. норма степеней этого оператора растет в [math]$\infty$[/math], и норма обратных тоже.

igrevssev

Спасибо! А по второму вопросы можете что-нибудь сказать?

scorobei42ru

существование формулы - вопрос непрозрачный. какие формулы допустимы? а так, в принципе, произведение может сильно портить нормы множителей. например, те же самые степени и обратные к ним. норма произведения 1, а сами операторы сколь угодно большую норму имеют. если чуть повозиться, то можно и менее тривиальный пример привести.

Irina_Afanaseva

И еще, может кто кинет в меня формулой, связывающей норму произведения операторов и нормы самих операторов, чтобы между ними был знак "больше". Или такой не существует?
не существует, так как два оператора нормы 1 в произведении могут дать норму 0 (два взаимно ортогональных проектора в гильбертовом пространстве, например)

igrevssev

Скажите, а если у меня есть две последовательности операторов - A_n и B_n, нормы операторов А_n ограничены в совокупности, а нормы B_n стремятся к бесконечности. Можно ли утверждать, что найдется какой-то вектор t, для которого последовательность норм векторов A_n* (B_n* t) будет бесконечно большой? (* - сопряжение). По аналогии с произведением ограниченной последовательности на бесконечно большую?
И возможно кто-нибудь может порекомендовать книгу, где рассматриваются законы поведения последовательностей норм операторов?

Irina_Afanaseva

По аналогии с произведением ограниченной последовательности на бесконечно большую?
нулевая на бесконечно большую - нулевая. сначала простой матан 1 семестра нужно активно заботать, а потом уже линал со сходимостью матриц

scorobei42ru

нет, так как образы векторов единичной длины, обеспечивающих большие нормы для операторов одной последовательности, могут отправляться операторами из второй последовательности (где нормы ограничены в совокупности) в как угодно короткие векторы. собственно, уже двумерного пространства хватит для построения примера.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: