Задача по теории вероятностей

Goodnight18

В урне находятся черные и белые шары, которые без возвращения извлекают из урны. Какое событие наиболее вероятно: "первый шар оказался белым" или "последний шар оказался белым"?

korpa

оба равновероятны

Goodnight18

а как вероятность второго события определяется?

Vitaminka

m - кол-во белых;
n - общее кол-во
\frac{(n-1)!m}{n!}=m/n

Goodnight18

откуда это взялось? можно поподробнее?

slsf

А как Вы вычисляете первую вероятность?

Goodnight18

ну во веденных обозначениях вероятность вытащить первым белый шар будет просто m/n

Vitaminka

(n-1)!m - число благоприятных исходов,
n! общее кол-во исходов

Goodnight18

(n-1)!m - число благоприятных исходов,
n! общее кол-во исходов
исходов чего? и какие из них благоприятные?

slsf

Задача сводится к ответу на вопрос - "Какова вероятность вытащить k-й шар белым?"
Нудновато конечно, но принципиально достаточно очевидно, как ее найти.
Считайте для начала, что у Вас всего один белый шар. Тогда очевидно, что вероятности равны?
Или обратите задачу во времени, что значительно проще, но не очевиднее
(В в таком рассмотрении Вы просто перекладываете шары из одной урны в другую, а когда меняете направление времени, урны меняются местами - соответственно и вероятности.)

slsf

Ммм. Благоприятными считаются исходы когда вы последовательно вытаскиваете шары и последний оказывается белым. Число таких исходов задается числом перестановок оставшихся (m-1) шаров среди n-(m-1) черных. Общее число событий это все возможные варианты выбора, оно равно числу перестановок m шаров среди n-m черных. Вероятность определяется как отношение числа благоприятных событий к общему числу событий. То, что вероятность вытащить первый белый шар равна m/n совсем не так очевидно, как кажется на первый взгляд.

Vitaminka

благоприятные исходы - упорядоченные последовательности из n-чисел,в которых последний номер, является номером белого шара
исходы - элементы вероятностного пространства (стандартная, на мой взгляд, терминология в теории вероятностей)
вероятностное пространство - множество всевозможных упорядоченных "последовательностей" длины n,
где каждый элемент "последовательности" - номер шара который был вытащен, а порядковый номер элемента - шаг на котором этот шар был вытащен

slsf

Следует оговориться, под исходами понимается, что Вы играете в эту игру с вытаскиванием шаров несколько раз! Подразумевается, что очень большое количество раз, по сравнению с числом шаров в корзине. Так как каждый раз последовательности будут меняться. Поэтому, если кто-то спросит какова вероятность вытащить белый шар из конкретного ящика всего один раз (в реальной жизни) - ответ будет звучать как в знаменитой шутке про динозавра - 0.5 что белый и 0.5 что черный. Так как в этом случае возможны всего два исхода, одно испытание - и понятие вероятности теряет смысл.

Goodnight18

все - спасибо, дошло

NHGKU2

Это не совсем верно. Для вероятности, определяемой как отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов, неважно, сколько раз проводится испытание. Она вычисляется однозначно.
Другое дело, насколько она соответствует действительности при экспериментах, тогда действительно нужно проводить очень много испытаний, чтобы сравнить частоту появления благоприятных исходов и теоретическую вероятность. Таким образом проверяют, насколько адекватна наша математическая модель. К задаче это вряд ли имеет отношение.

slsf

Естественно, о втором абзаце и идет речь. Если пользоваться определениями, никаких сложностей вообще не возникает.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: