построить пример функции для (x,y) из R^2

Zoltan

f(x,y) - аналитична для (x,y) из R^2
A = {(x,y) : df/dx(x,y) = df/dy(x,y) = 0}
B = {(x,y) : f(x,y) = 0}
A линейно связно, компактно, содержит больше одной точки и является строгим подмножеством B
Вроде бы не бывает таких функций, а доказать не могу

naami_moloko

Почему не бывает, например тождественный ноль...

stm7537641

Тождественный ноль на всей плоскости? Она же не компактна...

Zoltan

А - строгое подмножество B
да, и компактности нет тоже

naami_moloko

Что такое компактная функция?
Говорилось о компактном A - возьми любой компакт какой хочешь, и B, которое этот компакт содержит.

Zoltan

>возьми любой компакт какой хочешь
как это возьми? A и B однозначно определяются функцией, которая по условию определена и аналитична на всей плоскости

naami_moloko

И кстати не только тождественный ноль...Сколь угодно много таких аналитических функций

Zoltan

хорошо. как строить? скажем, на окружности x^2+y^2=1

naami_moloko

Строить что? Что есть эта окружность - A или B? Говорите больше слов, чтобы было понятней...
Я могу посторить inf количество примеров функций, _удовлетворяющим_ условию. Только A и B буду выбирать я сам

h_alishov

Верно ли, что линейная связность означает, что любые две точки связаны ломаной, все точки которой принадлежат этому множеству?

Zoltan

>Что есть эта окружность - A или B?
пусть А
>Я могу посторить inf количество примеров функций, _удовлетворяющим_ условию.
мне нужен всего один
>Только A и B буду выбирать я сам
тоже устроит

Zoltan

>любые две точки связаны ломаной
не ломаной, а кривой с непрерывной параметризацией

naami_moloko

Ок. f=0 - аналитическая функция в R^2. B = {z из C: |z|<2}, A = {z из C: |z|<1}. Годится?

Zoltan

>Ок. f=0 - аналитическая функция в R^2. B = {z из C: |z|<2}, A = {z из C: |z|<1}. Годится?
блин. А и B состоят из всех таких точек, что ...
то есть для f=0, A=B=R^2

naami_moloko

блин,
а) надо писать всё в условии
б) я опять так и не понял, что такое B, такое A... Из каких всех точек состоят A и B?
Ты дал условие - я дал ответ. Только ты дал смутное условие, я дал чёткий ответ на смутное условие...

Zoltan

>Из каких всех точек состоят A и B?
Могу ещё так: для любой точки (x,y) из A df/dx(x,y) = df/dy(x,y) = 0, причём А содержит все точки с таким свойством из R^2

z731a

f(x,y)=exp(-1/(x*x+y*y-1*(x+y) при x*x+y*y>1
f(x,y)=0 при x*x+y*y<=1
A-единичный круг, B-единичный круг и прямая x+y=0
поправьте, если неверно

Zoltan

бесконечно гладкие не годятся
а аналитичности у этой функции нет (у аналитических f B не может иметь внутренних точек)

z731a

напомни тогда, пожалуйста, что такое аналитическая в R^2 функция

Zoltan

f - аналитична, если её ряд Тэйлора к ней сходится

z731a

тогда "у аналитических f B не может иметь внутренних точек" понятно, а "бесконечно гладкие не годятся" не в тему - ряд Тейлора определен только для бесконечно гладких

Zoltan

я имел в виду, что твоя функция бесконечно гладкая, но не аналитическая. вот

stm7537641

Мне кажется что f(x,y)=(x^2+y^2-1)^2*y решает Вашу задачу.

z731a

df/dx(0,1/sqrt{5})=df/dy(0,1/sqrt{5})=0 - несвязность А

stm7537641

Ах, опять ошибся -- забыл эти две точки.

Kumar

ИМХО: множество А есть множество где функция постоянна (раз все производные ноль) . Раз оно линейно связно то ф-я принимает какое то одно значение. Раз оно компактно то это замкнутое ограниченное (в R2 !) А вещественно аналитическая функция не может принимать постоянное значение на таком множестве - тогда она просто ноль... Я не прав?

Kumar

Понял - я был все-таки не прав. А может состоять из кривых.

stm5539978-02

Таких функций не существут.
Ключевое соображение состоит в том, что множество нулей аналитической функции (не равной тождественно нулю) дискретно.
Т.е множество В дискретно. Множество А содержит как минимум две точки, причем, в силу линейной связности, эти точки соединяются кривой, лежащей в А, а следовательно (тк А подмножество В) и в В. Противоречие с дискретностью.

z731a

множество нулей аналитической функции (не равной тождественно нулю) дискретно
неверно, пример - f(x,y)=(x^2+y^2-1)^2

stm5539978-02

Возможно, это шутка
Эта функция не аналитичекая

z731a

у неё ряд тейлора=самой функции
или я не понимаю, что такое ряд тейлора для функции 2-х переменных?

stm5539978-02

Не такой это сложный факт - дискретность множество нулей аналитической функции, чтоб его тут не доказать.
В случае одной переменной всякая аналитическая функция единственым образом представляется в виде f(z)=(z-z_0)^n*g(z где g(z_0) не равна нулю (а стало быть и в некоторой окрестности z_0 g(z) не равна нулю). Отсюда и следует дискретность множества нулей аналитических функций (одной(!) комплексной переменной)

stm5539978-02

(x,y) надо понимать как одну комплексную переменную z. Ряд Тейлора
F(x,y)=F(z)=сумма по n=0... (a_n*(z-z_0)^n)

z731a

а если без комплексных?
и еще: можешь привести пример вещественнозначной аналитической ф-ии от (x,y)?

stm5539978-02

Я думаю, что автор поста с смого начала умолчал про то, что R^2 надо трактовать как С. Задачка по духу комплексная.
А пример вещественно аналитической функции 2-х переменных - любой полином
Т.е например твой пример (но в С-смысле аналитичным он не является). Но я повторяю, что думаю, что R^2=C (x,y)=z. Надо дождаться автора.

z731a

автор поста с смого начала умолчал про то, что R^2 надо трактовать как С
с чего бы? прочитай весь тред - автор сам

stm5539978-02

Ссылка не открывается, тред прочиал, никакой аналитической функции не в смысле С в исполнении автора не нашел.

z731a

никакой аналитической функции не в смысле С в исполнении автора не нашел
(x^2)*y

stm5539978-02

Номер поста автора с такой функцией?

z731a


только все слои включи

stm5539978-02

э.....
что еще за все слои!?
и как их включить?

z731a

над темой справа - раскрывающаяся менюшка. если у тебя все по-русски, то надо выбрать "мус." (вместо "норм." если по-анлгийски, то - "garb" (вместо "norm")

stm5539978-02

Сделал "garb"
Может я чего не понимаю, но у меня всего 13 постов .

z731a

его пост - 8-й всего - 18-й

stm5539978-02

Его восьмой пост:
---------------
>Из каких всех точек состоят A и B?
Могу ещё так: для любой точки (x,y) из A df/dx(x,y) = df/dy(x,y) = 0, причём А содержит все точки с таким свойством из R^2
----------------
Где тут функция....
18-й пост тоже его, но уже другой
---------------------
бесконечно гладкие не годятся
а аналитичности у этой функции нет (у аналитических f B не может иметь внутренних точек)
--------------------
Давай забьем на этот злобный оффтоп аля флуд и подождем Героя. Может он уже сам все решил.

z731a

ты опять просматриваешь только "нормальные" слои
сделай "показать все посты" и поменяй на "мусорные" слои, а потом считай

Zoltan

>Я думаю, что автор поста с смого начала умолчал про то, что R^2 надо трактовать как С
я бы тогда не мучался речь именно о вещественной аналитичности

z731a

о!
поясни, пожалуйста, о каком ряде тейлора идет речь

stm5539978-02

Ну тогда приношу свои извинения за время, которое вы потратили читая эту часть треда.
Я сейчас сам решаю задачку связанную с компланом, поэтому и мыслю в этом направлении

z731a

в слоях хоть разобрался?

stm5539978-02

было бы в чем разбираться...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: