Интересная задачка по квантам

kasimusya

Доказать, что два эрмитовых оператора имеют общую, полную систему собственных векторов тогда и только тогда, когда они коммутируют
а?

Dr_Jones

очевидно. подействуй коммутатором на каждый елемент базиса пр-ва.

базис выберем из общих собственных функций.

kasimusya

Та-ак. Можно ли чуть-чуть подробней?

Dr_Jones

ну что ты не умеешь расписать коммутатор по определению ?
 
[AB]=AB-BA
 
распиши определение того, что значит пси с.ф. оператора А,
 
определение того, что значит таже самая пси с.ф. оператора В.

kasimusya

Слушай, но ведь коммутатор = 0 по условию, как я понял, или что? Тогда какой смысл действовать им на базис? И что такое "пси с. ф."?

Dr_Jones

бля. ты условие своей задачи читал ?

т.и т.т. (тогда и только тогда) означает в ту и в обратную сторону.

например в обратную (это проще) предположим есть два оператора А и В у которыз совпадают с.ф. (собственные функции, они же собственные вектора, что это такое знаешь ?) тогда докажем, что [AB]=0.

обратно тоже просто как-то, но меня ломает думать как именно а сходу ничего не приходит в голову.

kasimusya

спасибо и на том

Dr_Jones

не за что.

обратно вроде от противного можно доказать.

kasimusya

Значит так. Ax = l1x; Bx = l2x. Тогда:
[A,B]x = (AB)x - (BA)x = A(Bx) - B(Ax) = A(l2x) - B(l1x) = l2Ax - l1Bx = l2l1x - l1l2x = 0.
Но причем здесь тогда эрмитовость?
Ах да... Чтоб был базис, т е чтобы они -собственные векторы - были ортогональны. Больше ни для чего вроде...

maldeln

Немного не так:
Если Ax=a*x, By=b*y, где а, b -- числа.
То [A,B]y = A(By) - B(Ay) = b(Ay) - B(Ay) = (b - BAy) = 0 тогда и только тогда, если Ay = y*const, те y -- собст вектор A. Обратное тоже верно. Те базисы с.в. совпадают.
А вообще это фигня-задача.

goga7152

Сообщение удалил

Komandor

Да эта, так называемая, "интересная задачка" описана в любой книге по квантам...

vovatroff

Причем вразумительнее всего - во "Введении в теорию спектров ЯМР" Туманова.
Там есть вводная часть по мат. аппарату, очень кратко и толково написанная, где
коммутаторы для случая вырожденного спектра разобраны в деталях.
Да и про сами спектры ЯМР нигде не видел более толкового руководства.
Очень рекомендую.

vadix

Пусть имеется два коммутирующих оператора AB = BA. Пусть x - собственный вектор A c собственным значением а, тогда имеем, что вектор Вх - тоже собственный для оператора А с тем же значением. Действительно A(Bx) = B(Ax) = B*a*x = а*(Вх).
Пусть теперь имеются унитарные операторы А и В на сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Тогда в силу доказанного имеем что пространство Н = прямая сумма Va - собственных подпространств. Они ортогональны между собой и вдобавок замкнуты, как собственные пространства непрерывного оператора. Эти пространства инвариантны и для В - по доказанному и на них В - так же унитарно. Значит там есть базис где В - диагоналезуется. Так вот обьеденение базисов по всем собственным пространствам и даст искомый базис.

serg32990

Диагонализируется...
А задачка интересна, конечно, только в том смысле, что нам ее задали..........
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: