Как решать f(f(x))=x

kachokslava

[math]  $$(x^2+2x-5)^2+2(x^2+2x-5)-5=x$$  [/math]
чё-то тупо пара корней ищется, а вторая пара - нет :crazy:

griz_a

если два корня у многочлена 4ой степени известны, то в чем проблема?

kachokslava

ну не хочется его раскрывать, делить... может, как-то по-быстрее можно?

griz_a

А зачем раскрывать делить?
по теореме виета
сумма корней -4, произведение 10

fabio

справа же Х стоит а не ноль

griz_a

а какое отношение x имеет к сумме или произведению корней многочлена 4ой степени?

kachokslava

а.. всё понятно

lenmas

Если f монотонна, то f(f(x=x эквивалентно f(x)=x.

Irenas

Если f(x) = 2x, то уравнение f(x)=x это 2x= x, а уравнение f(f(x=x это 4x=x.

Эквивалентны ж.

svetik5623190

Ладно, что-то я уже не соображаю ничего, так что больше ничегописать не буду лучше :) кроме вот этого:
если f отображает какой-то отрезок в себя и при этом есть такая точка x что f(f(f(x=x, то для любого натурального n есть такая точка y что f^n(x)=x, где f^n --- композиция n раз f.
имеется и более общее утверждение под названием "теорема Шарковского". далее википедия поможет :)

madina

это школьная задача.
метод решения: f(f(x-x делить на f(x)-x уголком

kachokslava

можно отсюда по-подробнее?
например, если f(x) не многочлен?
т.е. задача примерно такая:
решить [math]$$f(f(f(x=x$$[/math], если [math]$$f(x)=x^{\frac{7}{2}}-124$$[/math] ?
как бы доказать, что кроме очевидного корня x=4 других корней нет?

griz_a

x>0, я так понимаю?
функция монотононно возрастающая, поэтому f(f(f(x-f(f(x+f(f(x-f(x)+f(x)-x не меньше 0, а у нас равно, значит f(x)=x (бесстыдно пользуюсь идеей, высказанной адамаксом)
Поскольку функция [math]$x^{7/2}-124$[/math] выпукла вверх и в 0 меньше 0, то точка пересечения одна и это почти 4. Но все-таки не 4, там же не -128

griz_a

я ступил. там же [math]$x^{7/2}-124=x$[/math] надо было посмотреть.
Тогда да, 4, рассуждения те же, только выпуклость вверх [math]$x^{7/2}-124-x$[/math]
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: