Как взять интеграл от винеровского процесса?

ALEKS67

Есть W(t) - винеровский процесс.
Нужно проинтегрировать от 0 до T такую штуку d(W(s)^2).
Как такое чудо можно сделать?

BSCurt

Я признаться в области случайных процессов профан (и тервер несколько недолюбливаю, но ответ на вопрос узнать было бы любопытно).
А нельзя ли тут формально применить к интегралу от дифференциала формулу Ньютона-Лейбница?

ALEKS67

А у кого-нибудь есть Вентцель А.Д "Курс теории случайных процессов" в e-виде?

Vlad128

На lib.homelinux.org есть.
У меня сейчас зашло по паролю buratino/buratino. Странно, вроде последним был gek/gek. Попробуй оба.

lenmas

А нельзя ли тут формально применить к интегралу от дифференциала формулу Ньютона-Лейбница?
Эта функция негладкая, поэтому нельзя.
Тут получается нетривиальный ответ.
Грубо говоря, если в интегральных суммах брать значение в левой точке, то получится один ответ, а если взять в правой точке, то получится другой ответ :)

Vlad128

Эта функция негладкая, поэтому нельзя.
С каких пор формуле Ньютона-Лейбница понадобилась гладкость подынтегральной функции?

lenmas

С каких пор формуле Ньютона-Лейбница понадобилась гладкость подынтегральной функции?
Она под дифференциалом (первообразная).
Формулой Н-Л можно назвать и интеграл от производной :)

BSCurt


Грубо говоря, если в интегральных суммах брать значение в левой точке, то получится один ответ, а если взять в правой точке, то получится другой ответ
Или я недопонимаю, как понимать здесь d(w^2) или там ничего не зависит от разбиения : подинтегральная функция 1 её в какой точке не бери, а под дифференциалом почти все взаимосократится без оглядки на гладкость:
[math]$\int_0^T 1 d(w^2(t=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{i=0}^{N-1}  1(w^2(\frac{(i+1) T}{N})-w^2(\frac{i T}{N} = w^2(T)-w^2(0)$[/math]

lenmas

Ну, если понимать как ты пишешь, то да :grin:
А если раскрывать как wdw, то там возникают разночтения. Обычно же интеграл определяют для dw, так как там есть всякие разные свойства хорошие, чтобы можно было определить стохастический интеграл, а тогда возникает та неоднозначность, о которой я писал.
А как определить стохастический интеграл по субмартингалу d(w^2 я даже не знаю.

viri

Ответ: dW^2=dt + 2WdW. Получается сразу по формуле Ито.
Или можно по определению - как предел в среднем квадратическом интегральных сумм - найти, что \int_0^T W_t dW_t = 1/2 ( W_T^2 - T).
Посмотри главу про стохастические интегралы в Булинском Ширяеве.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: