Помогите с диффуром (updated)

sunni

Есть автономная система двух обыкновенных дифференциальных уравнений: [math]$$\dot{y}=f(y)\frac{y}{x}+g(y)\frac{1}{y}$$ $$\dot{x}=h(y)$$[/math] . Интересует только полуполоса [math]$0<y<1$, $x>0$[/math]. Даны конкретные [math]$f(y g(y)$[/math] и [math]$h(y)$[/math] такие, что являются дробно-рациональными и имеют ненулевые значения в нуле.
Если численно рисовать фазовый портрет, то траектории "приходят" в ноль фазового пространства. Необходимо понять, за какое время они туда "доходят"; конечное ли оно вообще.
Лично я не понимаю как можно оценивать это время и что делать с особым нулем. Может есть какая литература специальная про то, что делать в окрестности точек с бесконечной производной.

lena1978

выше скорости света точка не разгонится. поэтому предлагаю считать, что производная доходит до скорости света и дальше идет равномерное движение с этой скоростью. если в этом случае проблем с пониманием "что делать с нулем" не возникает, тогда плавненько перейти к бесконечной скорости света.

seregaohota

ОБычно линеаризуют (заменяя твои функции константами - предельными занчениями в 0 далее считая переменные малыми порядка эпсилон получишь какой-нибудь конкретный случай, может типа фокуса или ещё что. Смотришь классификацию особых точек в учебнике и там решения вообще-то явно выписываются по-идее.
Если численно считается можно направление времени поменять и посмотреть куда траектории из окрестности особой точки уходят.

sunni

Как линеаризовать функции y\x и 1\y в точке (0,0)?
далее считая переменные малыми порядка эпсилон получишь какой-нибудь конкретный случай

Это как провернуть?

lenmas

Как линеаризовать функции y\x и 1\y в точке (0,0)?
Эти уже не надо линеаризовывать. Просто поменять f, g и h на константы (так как они у тебя гладкие в нуле).
Диффур получится более простым. Для него провести исследование. Посмотреть, что получится.
Это я тебе транслирую, что имел в виду.

lenmas

Кстати, умножь свой диффур на y, он тогда сводится заменой y^2=z к более простому относительно z.

lenmas

И еще, привел бы конктретные виды f, g, h, тогда и советы были более конкретные.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: