Вопрос по терверу

dilk20089

Задали решить задачу, но я подозреваю, что утверждение, которое надо доказать, неверно.

По-видимому, составитель задачи ожидал примерно такого решения: пуассоновский процесс - процесс со случайными приращениями, поэтому Xt-Xs не зависит от Xu для любого u < s, следовательно, Xt-Xs не зависит от сигма-алгебры, порожденной случайными величинами Xu.
Но последний переход по ходу не верен. Рассмотрим такой пример.

Весь квадрат - это мн-во элементарных исходов. A1,A2, B - сигма-алгебры, состоящие из пустого мн-ва, полного мн-ва, черной и белой областей(см рисунок). Вероятностная мера - площадь.
Здесь A1 и A2 не зависят от B, но A12 зависит от B.(A12 это сигма-алгебра, порожденная разбиением на 4 маленьких квадратика)
Что вы об этом думаете?

griz_a

Идея в том, что независимость приращений - это не просто независимость от каждой предыдущей величины, а независимость от любого конечного набора величин => от любого конечного цилиндрического множества => от всей сигма-алгебры.

semute

Составитель не ожидал такого решения (я знаю составителя и знаю, какого решения он от вас ожидает - абсолютно строгого. ;-

dilk20089

Идея в том, что независимость приращений - это не просто независимость от каждой предыдущей величины, а независимость от любого конечного набора величин => от любого конечного цилиндрического множества => от всей сигма-алгебры.
Спасибо за содержательный пост.
Но проблема, сформулированная в первом посте, состоит не в этом.
Допустим мы ослабили утверждение, которое надо доказать, таким образом:
Вместо Fs(сигма-алгебра, порожденная всеми случайными величинами из сегмента [0;s]) подставим сигма-алгебру, порожденную 2 случайными величинами, например X(s/2) и X(s).
Тогда надо доказать, что
P(X(s/2) in B1, X(s) in B2, X(t)-X(s) in B3) = P(X(s/2) in B1, X(s) in B2)*P( X(t)-X(s) in B3 где B1,B2,B3 - борелевские мн-ва
Однако данное нер-во выглядит неверным(см пример в первом посте)
 

Составитель не ожидал такого решения (я знаю составителя и знаю, какого решения он от вас ожидает - абсолютно строгого. ;-
 

Это СЛУПы ВМК 4 курс 2 поток.
Вообще-то того, как тервер преподавался на 2 курсе, явно не достаточно для :cn: возни с цилиндрическими множествами и сигма-алгебрами.
А здесь случайные процессы отходят как-то на второй план. В данной задаче, по-видимому, вообще не существенно, что данный процесс пуассоновский.
Там у меня есть еще задача по винеровскому процессу, в которой просят доказать, что
max[0,t](w(s измерима(w - винеровский процесс). Красиво конечно, но бесполезно.

griz_a

P(X(s/2) in B1, X(s) in B2, X(t)-X(s) in B3) = P(X(s/2) in B1, X(s) in B2)*P( X(t)-X(s) in B3 где B1,B2,B3 - борелевские мн-ва
Однако данное нер-во выглядит неверным(см пример в первом посте)

Конечно верным, видимо, ты просто неправильно понял независимость приращений. Там совместная независимость любого количества непересекающихся отрезков.В частности (X(s/2X(s независит от X(t)-X(s). В примере ты просто не пользуешься всем определением независимости приращений

semute

> Это СЛУПы ВМК 4 курс 2 поток.
естественно. идея доказательства, которого ждут от вас, вот в чём:
по определению X_t-X_s не зависит от объединения сигма-алгебр, порождённых случайными величинами X_i для всех i из отрезка [0;s]. Далее надо построить пи-класс, порождённый этим объединением (он выглядит очень просто). Затем легко доказать независимость этого пи-класса от X_t-X_s (для этого достаточно доказать независимость произвольного вектора (X_{t_1}, ..., X_{t_n}) от X_t-X_s делается это через совместную характеристическую функцию (от самих случайных величин можно перейти к приращениям, разбить затем функцию в произведение, в первой части перейти обратно от приращений к случайным величинам).
Далее из независимости пи-классов следует независимость сигма-алгебр, порождённых ими. Сигма-алгебра, порождённая нашим пи-классом, очевидно совпадает с F_s
(это всё очень кратно, но при желании можно восстановить решение)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: