Топология множеств

blackout

Верно ли, что любое локально-компактное пространство можно покрыть счетным числом компактных множеств?
Если нет, то при каких дополнительных условиях это верно?

antill

Верно ли, что любое локально-компактное пространство можно покрыть счетным числом компактных множеств?
очевидно, нет
рассмотрите любое несчётное множество с дискретной топологией

antill

Если нет, то при каких дополнительных условиях это верно?
сходу не знаю, думать нет времени
но вот что вспомнилось (как говорится, хозяйке на заметку :) ): топологическое векторное пространство локально-компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно :)
кстати, на всякий случай уточните, что понимаете под локальной компактностью
и ещё: на этом форуме вопросы по общей топологии принято задавать двум юзерам: sam_durak и

blackout

очевидно, нет
Согласен. А если исходное пространство - метрическое?

antill

Согласен. А если исходное пространство - метрическое?
дискретная топология --- метрическая, порождается метрикой
[math]  $\rho(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll}   0 & \textrm{ при } $x=y$\\   1 &  \textrm{ при } x\neq y\\     \end{array} \right.$[/math]

vbelov

дискретная топология --- метрическая, порождается метрикой
:D
имелось в виду с обычной топологией, может?)

Suebaby

имелось в виду с обычной топологией, может?)
иди рекламируй порошки

antill

имелось в виду с обычной топологией, может?)
непонятно, кем имелось и что
в результате фраза выглядит как бессмысленный набор слов, за это и минусуют
Термин "обычная топология" однозначно определён только для [math]$\mathbb{R}^n$[/math]. Иногда обычной называют и стандартную (наиболее употребительную) топологию на многих других множествах, но я противник этого, предпочитаю говорить в этом случае "стандартная", "классическая" или же более точно, в зависимости от случая: евклидова, чебышёвская (=равномерная метрическая, такой-то сходимости, слабая порождённая таким-то набором функционалов и т.п.
Короче, взботни уже пособие, в который раз говорю. Там, конечно, без доказательств, поэтому трудно читать, но ты уж постарайся. Или понапоминай мне, я тебе хороший учебник с доказательствами отксерю.

blackout

Всем спасибо, все оказалось еще проще и с локальной компактностью не связано.

antill

lena1978

я уже не в теме

lena1978

но тут вроде необходимо (и достаточно) добавить требование чтобы пространство было финально-компактным. Например со счетной базой.

antill

финально-компактным
дай плиз определение, для общего развития :)

lena1978

из любого открытого покрытия можно выбрать счетное

antill

финально-компактно
из любого открытого покрытия можно выбрать счетное

это условие, насколько я знаю, более известно как свойство Линделёфа

lena1978

условие линделефа - это вроде как наследственная финальная компактность (по открытым подмножествам = по любым).

antill

ну хз
то ли терминология сменилась, то ли то, что выделено курсивом, делает определение эквивалентным тому, которое ты привёл (только я пока не понимаю, почему эта эквивалентность будет)
Александрян, Мирзаханян. Общая топология. М.: Высшая школа, 1979.
с. 213
Определение 2.2. Говорят, что пространство обладает свойством Линделёфа или является линделёфским пространством, если всякая система его открытых подмножеств обладает не более чем счётной подсистемой с тем же объединением. В частности, любое его открытое покрытие содержит не более чем счётное подпокрытие. Линделёфские пространства принято называть также финально-компактными, они будут подробно рассмотрены в параграфе 3 этой главы.
условие линделефа - это вроде как наследственная финальная компактность

под наследственностью свойства обычно подразумевают то, что само топологическое пространство обладает каким-то свойством, и все его топологические подпространства обладают этим свойством
ты это имел в виду?
(по открытым подмножествам = по любым).

что здесь написано, я сообще не понял :) можешь пояснить?

antill

Всем спасибо, все оказалось еще проще и с локальной компактностью не связано.
нет уж позвольте!.. (с)
:grin:

lena1978

всякая система его открытых подмножеств обладает не более чем счётной подсистемой с тем же объединением.
ну вот здесь не покрытие, а любая система открытых подмножеств. отсюда сразу следует, что любое открытое подмножество будет финально-компактным в том смысле, котором я написал. а отсюда легко следует, что и любое подмножество финально-компактно. это да, называется "наследственно".
в твоей цитате получается написано, что наследственно финально-компактные называются финально-компактными. с другой стороны некоторые называют линделефовыми пространства именно финально-компактные, а не наследственно финально-компактные, т.е. наоборот. а наследственно финально-компактные - сильно линделефовыми. кто учился по энгелькингу называют линделефовыми регулярные финально-компактные пространства.
а предпочитаю пользоваться советской терминологией от Александрова. может она и не справедлива насчет Линделёфа, но я так привык):
финально-компактное - из любого открытого покрытия можно выбрать счетное.
счетно-компактное - из любого счетного открытого можно выбрать конечное.
бикомпактное - одновременно финально и счетно компактное, т.е. из любого открытого покрытия можно выбрать конечное.
бикомпакт - хаусдорфово бикомпактное пространство.
компакт - метрическое бикомпактное пространство.
наследственно финально-компактное - любое подмножество (и само про-во) является финально-компактным
свойство линделефа - любая система открытых подмножеств имеет счетную подсистему с тем же объединением.
свойство линделефа эквивалентно наследственной финальной компактности.
пространство линделефа, линделефово пространство - не употребляю. и каждый раз прошу уточнить, что это значит.

antill

смайлик жжот!
2. если наследственно финально-компактные пространства ещё, вероятно, имеют какие-то разумные свойства, то класс наследственно компактных пространств, похоже, уж совсем беден. сходу придумал только антидискретную топологию и кофинитную (замкнуты только конечные множества). больше же нет никаких наследственно компактных пространств? или есть?
3. что-то туплю. может время позднее, а может просто туплю :)
всякая система его открытых подмножеств обладает не более чем счётной подсистемой с тем же объединением.

ну вот здесь не покрытие, а любая система открытых подмножеств. отсюда сразу следует, что любое открытое подмножество будет финально-компактным в том смысле, котором я написал. а отсюда легко следует, что и любое подмножество финально-компактно.

можешь написать поподробнее?.. как-то хочется использовать хаусдорфовость или хотя бы Т1, чтобы такое было верно... тут, вероятно, используются рассуждения в духе "дополним произвольное открытое покрытие множества М до открытого покрытия всего пространства так, чтобы добавленные открытые множества не пересекались с множеством М, потом по финальной компактности всего пространства выберем в построенном его покрытии не более чем счётное подпокрытие, выкинем из него множества, не пересекающиеся с М, получим не более чем счётное подпокрытие исходного покрытия множества М. PROFIT."
Но что-то я не соображу, как расширять покрытие М до покрытия всего пространства
или вообще другая идея?
поясни плиз

lena1978

не нужно дополнять до покрытия пространства. нужно открытые множества из покрытия М дополнить до открытых множеств во всем пространстве и выделить из это системы счетную с тем же объединением. а потом взять обратно следы этих множеств на М и получаем счетное открытое покрытие М.

antill

спасибо!
да, действительно, всё очень просто :)
напал злобный тупняк спасибо что помог справиться :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: