задача по терверу

kiptilyy2009

Добрый день! подскажите как подступится к следующей задаче.
Даны x,y - две одинаково экпоненциальное распределения с параметром с.
Найти функцию распределения случайной величины z=x/(x+y) и
условную функцию распределения случайной велчины x при условии z=a

Niklz

Вот, к примеру, здесь в lecture 2 объясняется метод с примерами http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Stat/StatLec1-5.pdf

griz_a

Независимые? Параметр масштаба?
Вообще все довольно просто. Надо записать совместную плотность и проинтегрировать ее по [math]$x/(x+y)<z$[/math].
Чтобы сильно долго не считать, можно заметить, что
[math]$(X+Y)/X = 1+ Y/X = 1+\xi,\ \xi\sim Fisher_{2,2},$[/math]
У такого Фишера плотность
[math]$\frac{1}{(x+1)^2},$[/math]
значит
[math]$P(Z<z)=P(1/Z-1>1/z-1)=z I_{z\in [0,1]}$[/math]
Иначе говоря, равномерное распределение.
Можно было не через Фишера, а сразу пользоваться тем, что X/(X+Y) для гамма-распределения X,Y имеет бета-распределение с известными параметрами.
Собственно, равномерность также следует из известного факта про пуассоновский процесс - если рассмотреть условное распределение первых k моментов скачков при условии того, что k+1-ый скачок был в момент t, то оно будет совпадать с распределением порядковых статистик для k независимых равномерных величин на [math]$[0,t]$[/math]
Что же до
[math]$P(X\leq x|Z=a$[/math] то она совпадает с [math]$P(X\leq x|1/Z - 1 = Y/X = 1/a-1$[/math] откуда нам достаточно посчитать совместное распределение [math]$X, Y/X$[/math]
[math]$ f_{X,Y/X}(x,y) = f_{X,Y}(x,yx) \cdot |\frac{D(x,yx)}{D(x,y)}| = c^2 x e^{-cx(1+y)}, $[/math]
откуда
[math]$ f_{X|Y/X}(x|y) = (1+y)^2 c^2 x e^{-cx(1+y)},$[/math]
а значит [math]$X$[/math] имеет условное гамма-распределение [math]$\Gamma(2,a/c$[/math]

sven1969

фрау, Вы бесподобны!

tester1

поддерживаю
Фрау умничка!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: