Поверхности в пространстве (дифгем?)

margo11

Пусть есть R^n и в нем неявно задано множество точек M уравнением f(x_1, ..., x_n) = 0. f - очень гладкая функция, даже многочлен.
Известно (из общего курса дифгема что в тех точка где градиент f отличен от нуля, множество M есть (локально) (n-1)-мерная поверхность.
А что делать с теми точками, где градиент равен нулю? (градиент может быть равен нулю во всех точках множества M). Верно ли тогда, что множество M будет состоять из поверхностей меньшей размерности? (для двумерного случая это верно). Где можно посмотреть ссылки?

spartak74

Сообщение удалил

margo11

Точку я считаю поверхностью размерности ноль.
В двумерном случае верно следующее: множество нулей многочлена будет состоять из конечного числа одномерных поверхностей и конечного множества точек. Для случая x^2y^2 = 0 это будут четыре луча плюс точка.
Конечно, каждое множество состоит из точек. Для того, чтобы избежать таких недоразумений, надо было мне добавить "из конечного числа поверхностей меньшей размерности".

Sanych

Особенности алгебраического многообразия образуют подмногообразие размерности как минимум на 1 меньшей. Так что можно просто все неособые точки выделить в отдельный гладкий кусок (поверхность некоторой размерности а все особые разбивать дальше. Впрочем, это так для многообразий над алгебраически замкнутым полем. С многообразиями над R я довольно плохо знаком.

margo11

Да, с R много проблем. В частности, я пытаюсь оценить (или найти где-то как это сделать) количество точек в многообразии, когда оно конечно и задано многочленом степени n. Для двумерного случая получается, дальше - нет.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: