Задача по теории меры

valds75

Существует ли сигма-аддитивная мера, определенная на всех подмножествах отрезка [0, 1], совпадающая на лебеговских множествах с мерой Лебега?

naami_moloko

определенная на всех подмножествах отрезка [0, 1]

Нет не существует, доказывается через аксиому выбора.

vvv-358

а поподробнее?

valds75

Или, есть длинное доказательство, то подсказку или ссылку...

naami_moloko

Точно не помню уже, скажу что помню. Есть "трудная задача теории меры"(прямо так и называется) - определить меру на всех подмножествах множества из R(у тебя [0,1]). Известно, что она неразрешима. Доказательство проводится от противного, а потом через аксиому выбора сторится контрпример. У меня доказательства не сохранилось, по-моему там как-то хитро строилось множество "нулевой" меры, потом рассматривались его рациональные сдвиги и оказывалость, что получили уже множество "ненулевой" меры. На самом деле возьми просто пример неизмеримого по Лебегу множества, и посмотри почему оно такое.

valds75

Если я правильно помню, то доказательство, про которое ты говоришь - для инвариантной относительно сдвигов меры. Мне же хочется для общего случая.

vitamin8808

нет, смотри пример Витали неизмеримого множества. (про классы эквивалентности и проч.,
в любом учебнике есть)

valds75

Смотрел. По-моему, это построение проходит только для инвариантной относительно сдвигов меры.

vitamin8808

писать ломает, смотри книжку Богачёва по теории меры, первую главу, или просто подойди
к нему на кафедру и спроси

naami_moloko

Попробуй сначала доказать, что искомая мера инвариантна относительно сдвигов из того, что она должна совпадать с мерой Лебега

edikbl

Продолжить можно.
Факт1. Если множество М не входит в _полную_ относительно неотрицательной счетно-аддитивной меры сигма-алгебру S, то можно континуумом способов продолжить меру с сохранением счетной аддитивности на новую сигма-алгебру, натянутую на M и S. (стандартное упражнение).
Факт2. Если имеется счетная строго расширяющаяся цепочка полных сигма-алгебр S_n
с неотрицательными мерами m_n,
причем сужение каждой меры m_{n+1} на сигма-алгебру S_n совпадает с m_n,
то "объединение графиков" всех мер m_n является счетно аддитивной мерой на объединении этих сигма-алгебр (это алгебра как минимум).
(использовать внешнюю меру и монотонность, и критерий "сч.аддитивность=непрерывность")
Факт 3. Если объединяем расширяющееся несчетное семейство полных сигма-алгебр
(индексированное элементами несчетного ординала) с попарно согласованными
счетно аддитивными неотрицательными мерами, то объединенная мера счетно аддитивна
на объединении этих сигма-алгебр. (это проще чем в Факте2).
осталось продолжать меру Лебега m_0 так:
для каждого следующего ординала как в факте 1 (добавляя любое неизмеримое множество
для предельного ординала (счетного или несч.) --- как в Факте2 или 3 соотв.

edikbl

пардон, с фактом2 поспешил, надо перепроверить

valds75

Спасибо за вариант. Я не силен в теории множеств, но сделаю предположение: твой подход похож на доказательство теоремы Хана-Банаха. Именно, можно было бы продолжать так: определим линейный функционал "интеграл" сначала на всех ограниченных измеримых по Лебегу функциях как обычный интеграл, а потом по теореме Хана-Банаха продолжим на ВСЕ ограниченные функции. Проблема, как мне кажется, то, что полученный функционал не обязан быть сигма-аддитивным. Так же будет и для твоего подхода.
А вообще, есть подозрение, что такого продолжения меры все-таки не существует.

edikbl

Ответ "да", но предыдущее мое рассуждение надо исправить так:
Факт1. Если множество М не входит в _полную_ относительно неотрицательной счетно-аддитивной меры сигма-алгебру S, то можно континуумом способов продолжить меру с сохранением счетной аддитивности на новую сигма-алгебру, натянутую на M и S,
!причем так, что новых множеств меры нуль не возникнет --- то есть новая мера автоматически будет полна (стандартное упражнение
или что то же --- что минимальная сигма-алгебра среди содержащих M и S
полна относительно продолженной меры!.
Факт2. Если имеется счетная строго расширяющаяся цепочка полных сигма-алгебр S_n
с неотрицательными мерами m_n, !причем семейства множеств меры нуль одни и те же для всех номеров!, и сужение каждой меры m_{n+1} на сигма-алгебру S_n совпадает с m_n,
то "объединение графиков" всех мер m_n является счетно аддитивной мерой на объединении этих сигма-алгебр (это алгебра как минимум).
(использовать внешнюю меру и монотонность, и критерий "сч.аддитивность=непрерывность")
далее - как раньше.
Прежний факт2 ложен.

edikbl

подробности могу сказать завтра в конце 6-й пары в А-1622, писать устал

edikbl

для теоремы Хана-Банаха нужна преднорма, которой в моих фактах нет.
похожесть с Х-Б только в трансфинитной индукции.
в Фактах доказывается именно счетная аддитивность на каждом шагу.

valds75

Пусть A_n^k = [1 - 1 / 2^k, 1 - 1 / 2^{k+1} k = 0, 1, ..., n-1, A_n^n = [1 - 1 / 2^{k+1}, 1). F_n = \sigma{A_n^1, ..., A_n^n}. Тогда F_n - возрастающая последовательность сигма-алгебр. Определим m_n так:
m_n(A_n^k) = 1 / 2^{k+1}, k = 0, 1, ..., n - 1,
m_n(A_n^n) = 1 + 1 / 2^n.
Обозначим m "объединение графиков". Легко проверить, что
1) m([0, 1 = 2.
2) \cup \limits_{n = 1}^{\infty} A_n^{n-1} = [0, 1).
3) \sum \limits_{n = 1}^{\infty} m(A_n^{n-1}) = 1.
Таким образом, сигма-аддитивности на полученной алгебре нет. Это контрпример к Факту2, или я его не до конца понял?

edikbl

спасибо за уточнение!
если придумаешь контрпример без атомов, то мое д-во Факта2 рассыпается полностью.
Еще надеюсь восстановить пробел, который вчера поздно не заметил,
т.к. в исходной мере атомов нет.
вечером (>20:00) посмотрю.

valds75

Стоп, а где в моем примере атомы?

edikbl

атом --- это такое множество А, что мера всякого его измеримого подмножества равна либо
нулю, либо мере А.

edikbl

что-то я завис.
надо книжки посмотреть.
"Теорию меры" Халмоша, например.

valds75

Я там нашел только пример неизмеримого множества и доказательство для случая инвариантной относительно сдвигов меры.

edikbl

мда. в бурбаках и Данфорде-Шварце тоже ничего об этом не нашел.
либо очень просто, либо очень сложно.
надо использовать топологические средства. компактные классы, например.
посмотрю завтра.

sanosik

полного ответа пока нет.
Представляется полезным шаг 1 модифицировать так
(может, это натолкнет на светлую мысль):
если полная относительно вероятностной меры мю сигма-алгебра В на множестве М не имеет атомов и --- как раз, как в случае меры Лебега ---
в каждом множестве положительной меры найдется неизмеримое подмножество,
то можно найти неизмеримое подмножество С внутренней меры нуль и полной внешней меры (мю*(С)=1). Далее меру на сигма-алгебру сигма(B,C) можно продолжить с сохранением счетной
аддитивности и семейства множеств меры нуль. Если при этом аппроксимирующий компактный класс для мю состоял из пустого множества и множеств положительной меры
(как например компакты положительной меры для исходной меры Лебега то для новой меры
его можно взять с такими же свойствами (именно, состоящим из множеств вида
К, КС и К\С, где К пробегает исходный компактный класс).
Далее идея состоит в том, чтобы для Шага2 подобрать последовательность добавляемых неизмеримых множеств С_n в соответствии с написанным выше и кроме того так,
чтобы объединение соответствующей последовательности компактных классов K_n
снова дало компактный класс (он автоматически окажется аппроксимирующим!) -
и тогда счетная аддитивность объединенной меры доказана.

sanosik

про компактные классы написано в Ж.Невё "Мат.основы теории вероятностей",
её часто внизу букинист продает.
фактически, компактные классы - единственный способ доказывать счетную
аддитивность на кольцах.
Разве только для полуколец (как для теоремы о счетной аддтивности произведения мер)
приходится по-другому.

edikbl

вот новая информация.
ответ "да" на исходный вопрос означал бы, что континуальный кардинал измерим.
Именно, кардинальное число называется измеримым, если
на сигма-алгебре _всех_ его подмножеств существует
счетно-аддитивная мера, равная нулю на
каждом одноточечном подмножестве.
Однако, вопрос о существовании измеримого кардинала вообще, говорят, не решен.
он обсуждается в инете на форумах, и в статьях,
http://a-server.math.nsc.ru/publishing/smz/archive/annot.php?id=677

edikbl

home.onego.ru/~rishelie/files/Math/Set_theory/Zf_theor.pdf
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: