Вторая часть 16-й проблемы Гильберта

lena1978

какая у нее точная формулировка и какого типа результат может служить ее решением?
порылся в инете, что-то ничего путного не нашел.
а у Гильберта тоже как-то расплывчато:

In connection with this purely algebraic problem, I wish to bring forward a question which, it seems to
me, may be attacked by the same method of continuous variation of coefficients, and whose answer is of
corresponding value for the topology of families of curves defined by differential equations. This is the
question as to the maximum number and position of Poincare's boundary cycles (cycles limites) for a
differential equation of the first order and degree of the form.

полный смысл видимо должен следовать из первой части проблемы, но я не имею никакого понятия об алгебраической геометрии.
кто-нибудь может подробнее раз'яснить?

fatality

Это предположение о том, что число предельных циклов полиномиального векторного поля на вещ. плоскости ограничено величиной, зависящей только от степени поля.

lena1978

а про расположение предельных циклов?

fatality

 
position

да, в оригинале и про расположение.
вообще в этом направлении известно не так много (и я в нем не работал никогда) - Варченко доказал сильно ослабленный вариант гипотезы об ограниченности числа порождающих циклов для полиномиальных возмущений полиномиальных же гамильтоновых полей, при этом он дал чистое доказательство существования, не указав явной оценки, потом это было обобщено на многомерье и для аналитического случая. Циклы рождаются не только из замкнутых фазовых кривых, вообще говоря, это сильно усложняет проблему.

lena1978

ладно, спасибо. просто случайно наткнулся на упоминание, решил поинтересоваться.
а вообще не плохо было бы решить

fatality

не плохо было бы решить
я вижу, вы с научруком не ищете легких путей в науке=)
зы. молодцы, конечно, и то, что интересы такие разносторонние, внушает уважение

fatality

Урезанные варианты 16 проблемы для квадратичных полей, для специальных уравнений типа ур. Абеля и тп решены при помощи комплексификации задачи (вводятся комплексные отображения монодромии, комплексные циклы и другие подобные понятия, вся теория настоящий рай для алгебраических геометров). надо сказать, типичные свойства комплексных уравнений на свойства вещественных непохожи, например, типичным является счетное множество предельных циклов.
Был хороший обзор Ильяшенко по качественной теории и 16 проблеме в книге "Математические события 20 века", книга великолепная, почитай.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: