Решить уравнение по тригонометрии

mzolotuhin

На днях попросили помочь с решением уравнений по тригонометрии, все решил, но одно чет никак не выходит :crazy: Туплю)
Уравнение вот: (sinx)^8 + (cosx)^8 = 17/16*(cos(2x^2

incwizitor

в лоб не получается?
sin^8 + cos^8 = (sin^4 + cos^4)^2 - 2 sin^4*cos^4
далее сумму четвретых степеней тоже к (sin^2 + cos^2)^2 сводим
не забываем, что cos^2 + sin^2 = 1
все уравнение сводится к квадратному уравнению относительно (sin(2x^2
дальше совсем в лоб вроде

DarkDimazzz

Пара хинтов: в левой части выделяешь полную четвертую степень и пользуешься подстановкой [math]$t=\sin^2 2x$[/math]
PS опаньки, меня опередили...

bonfire

 Легко преобразовать к виду:
 (tgx)^8+1=17/16*tgx)^4-1^2
или представить y=(tgx)^4, тогда
 y^2+1 = 17/16*(y-1)^2
 y^2-34y+1=0
 

DarkDimazzz

x=(tgx)^4

Ты, это, переменную при подстановке меняй, что ли.
А вообще тут много разных вариантов можно придумать с общей идеей, что надо подстановку в виде какой-либо тригонометрической функции аргумента 4x/k, возведенной в k-ю степень.

mzolotuhin

спасибо!
я так и делал, только в одном месте ошибся и из-за этогопо лучалось не биквадратное уравнение, а просто четвертой степени со всеми членами, кроме 3-й степени.
теперь нашел ошибку, все ок)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: