Сформулровать аксиому выбора

avgustinka

Кто-нть может дать формулировку нормальную?

filippov2005

Для любого набора непустых попарно непересекающихся множеств существует множество представителей, т.е. множество содержащее в точности по одному элементу из каждого данного множества.

lenmas

Или "декартово произведение любого набора непустых множеств - непусто"

avgustinka

Здесь написано, что это более слабый факт.

avgustinka

А если не секрет, что это нам даёт?
Конечно здорово, что это множество существует, однако, оно скорее всего не единственное, так что для того чтоб была реальная польза, нам надо из множества множеств представителей уметь выбрать какое-нибудь одно множество представителей. А это надо делать опять же по аксиоме выбора. Порочный круг получается?

filippov2005

Какая разница единственное или нет? Главное, что существует и мы можем его рассматривать.

avgustinka

По той же логике: если множество не пусто, то в нём существует хотя бы один элемент, давайте будем его рассматривать.
Короче, когда эта аксиома используется в доказательстве, говорят что-нть вроде: а вот выберем какой-нть элемент из этого множества, мы можем сделать это по аксиоме выбора. А на самом деле, по аксиоме выбора существует функция, которая ставит в соответствие множеству его элемент. Но чтобы воспользоваться ею, то есть чтобы в конечном счёте выбрать элемент, надо сначала фиксировать функцию. Разве я не прав?

lenmas

А нас Хелемский учил, что "аксиома свободного выбора" это про произведение непустых множеств. И задавал задачу доказать, что это эквивалентно существованию функции выбора или про дизъюнктные множества, как выше. Я склонен математикам верить больше, чем каким-то википедиям

shpanenoc

А если не секрет, что это нам даёт?
Конечно здорово, что это множество существует, однако, оно скорее всего не единственное, так что для того чтоб была реальная польза, нам надо из множества множеств представителей уметь выбрать какое-нибудь одно множество представителей. А это надо делать опять же по аксиоме выбора. Порочный круг получается?
Почему порочный? Мы предположили верной аксиому выбора, воспользовались ей дважды, и получили, что из любого семейства множеств можно выбрать семейство представителей.

avgustinka

Тоже верно.
Тогда вопрос: всё-таки если взять аксиоматику теории множеств без аксиомы выбора (ZF то там можно из одного множества взять один элемент, или всё-таки нельзя?

shpanenoc

Я не знаю точно, но видимо, не всегда. Из <=континуума - можно...

_mrz

Тогда вопрос: всё-таки если взять аксиоматику теории множеств без аксиомы выбора (ZF то там можно из одного множества взять один элемент, или всё-таки нельзя?
ясен пень, что для непустого множества можно, это непосредственно следует из определения непустого множества
(поскольку множество непустое, очевидно утверждение о том, что существует элемент ему принадлежащий, истинно)
Смысл аксиомы выбора трудно объяснить на пальцах, потому что интуитивно ее утверждение кажется тривиальным, но это не так с точки зрения мат.логики. Вообще смысл очень многих аксиом будет непонятен пока не начнешь мыслить формально, а не интуитивно.

avgustinka

Ну не обязательно на пальцах. Можешь формально объяснить?
Почему можно брать элемент из одного непустого множества и почему нельзя из нескольких одновременно?

natunchik

Не просто из нескольких, а из бесконечного (и не обязательно счётного, кажется) набора. Это уже нетривиально, видишь ли.
Счётные и конечные операции сильно различаются по свойствам. Вот например, конечное объединение замкнутых множеств замкнуто, а счётное может быть и открытым (отрезки вида [0, 1 - 1/n] как пример).
А у аксиомы выбора, между прочим, существует какой-то существенно ослабленный вариант, который вроде как тоже позволяет достичь достаточно многого, но непонятных результатов типа непрерывного отображения квадрата на отрезок там уже нет, кажется.

_mrz

Почему можно брать элемент из одного непустого множества и почему нельзя из нескольких одновременно?
как же нельзя?
можно конечно, если это правильно делать
Ну не обязательно на пальцах. Можешь формально объяснить?
я то конечно сформулирую, но не гарантирую, что будет понятно о чем это я говорю
Из утверждения
A - множество попарно непересекающихся непустых множеств
формальным логическим выводом нельзя получить утверждение:
существует множество имеющее единственный общий элемент с любым элементом множества A
Поэтому утверждение
"Для любого множества A:
если А - множество попарно непересекающихся непустых множеств, то
существует множество B имеющее единственный общий элемент с любым элементом С множества A" (одна из формулировок аксиомы выбора)
является существенным утверждением
еще более забавный пример - есть например такая аксиома:
"для любых элементов x,y существует множество A такое что для любого z: z является элементом A тогда и только тогда, когда z=x или z=y"
т.е. утверждение о том, что существует множество состоящее из двух заданных элементов (либо из одного заданного элемента, когда x=y в вышенаписанном утверждении) тоже является существенным утверждением и отдельной аксиомой.

Alexx13

stm7543347

А это надо делать опять же по аксиоме выбора.
А она уже для этого не нужна. Элемент в этом множестве есть.
Аксиома выбора нужна для очень больших систем. Утверждать, что из двух множеств можно выбрать по элементу, можно и без нее.
И она используется в доказательствах теорем.

avgustinka

Ок, я понял. Спасибо.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: