мощность иррациональных чисел

weltburger

сабж

elektronik

Континуум
Или я не понимаю вопроса...

plugotarenko

действительных - континнум,
рациональных - счетно
следовательно, иррациональных тоже континуум.

shpanenoc


действительных - континнум,
рациональных - счетно
следовательно, иррациональных тоже континуум.
Это только наводящее соображение. Предлагаю такое доказательство:
Установим взаимно однозначное соответствие Z между иррациональными числами на [0,1] и всем [0,1].
Пусть r_n - последовательность всех рациональных чисел на [0,1].
Положим Z(x) = x, если x <> 1/(pi*k k - целое >0.
На последовательность { 1/(pi*k) } определим Z так, чтобы она переводила
0, 1/pi, 1/2pi, ...
в последовательность
0, r_1, 1/pi, r_2, 1/2*pi, r_3, ...
Очевидно, Z отображает множество иррациональных чисел взаимно однозначно на [0,1] ==>
|Z| - континуум.

weltburger

кул! спасибо огромное за столь добротный, качественный ответ! побольше таких как member и жизнь станет легка, прекрасна.

Cepy

На самом деле всё намного проще. Из того, что действительных континуум, автоматически следует, что ирр - тоже континуум. И это совсем не наводящие мысли.
Потому что объединение двух счётных множеств тоже счётно, и, если бы ирр было счётное, то действительных (=объединение ирр и рац) было бы тоже счётное. А это не так.

griz_a

А континуум-гипотезу принимать не стоит!
В любом случае задача равна докаательству того, что континуум минус счетное равно континуум. Вот он, например, привел....
Я бы сделал немного иначе, но и так сгодится.

CHYDO

почему не предположить мощность множества иррациональных чисел меньшую, чем континуум, и большую, чем мощность счетного множества

shpanenoc

Спасибо за добрые слова. Кстати, - мой псевдоним, а member - это "звание" на форуме, или описание.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: