Задача по математике

manggol

если у гладкой функции на интервале (0..1) в каждой точке какая-то производная равна нулю, то это полином

lena1978

просто проинтегрировать? :confused:

manggol

просто проинтегрировать?
я не понял, что именно ты имеешь ввиду. ну проинтегрирую, получу функцию с такими же свойствами, и что.

mtk79

Вас на первом курсе не научили интегрировать.

manggol

Вас на первом курсе не научили интегрировать.
где смеяться то надо

mtk79

Как обычно, после слова "лопата"

lena1978

поясни условие. какая-то или какая-то?

mtk79

Я думаю, какая-то

pva71

через теорему Бэра вроде решается..
насколько я помню..

manggol

Гладкая функция. В каждой точке производная некоего порядка равна нулю. Доказать что это полином.

manggol

спасибо, щас почитаем

lenmas

если у гладкой функции на интервале (0..1) в каждой точке какая-то производная равна нулю, то это полином
Зачем тебе, решение же очень сложное?

manggol

блин, прикольно, как мир тесен. оказывается автор решения - бывший директор моей аспирантуры. тока там споры идут что решение мутное ;)

manggol

Зачем тебе, решение же очень сложное?
поясни скрытый юмор.

lenmas

Это не юмор, это просто пустая трата времени, разбирать такие безыдейные решения. Пример подобной задачи: доказать равномерную сходимость
[math]  $$  \sum\limits_{n=1}^\infty\biggl(\frac{x}{1+x^n}\biggr)^n  $$  [/math]
на [0,1]. Не представляю, чему может научить решение такой задачи :crazy:
P.S. Ну или сам решай такие задачи, если хочешь получить удовольствие.

manggol

блин, а я в том решении ошибку нашел. :crazy: по крайней мере необоснованное утверждение, которое без дополнительных обьяснений неверно

lena1978

мда, мутное решение.

manggol

народ, кому не лень, почитайте там решение по ссылке апофелака.
там в итоге все с решением согласились, но мне кажется есть банальная ошибка - обьединение замкнутых множеств не обязательно является замкнутым.

manggol

мда, мутное решение.
он когда из вещественной оси выкидывает объединение замкнутых множеств - с хуя ли в результате открытое получит?

lenmas

Но задача верная, так что решай смело. Она приведена в задачнике под редакцией кафедры ТФФА, изданном в каком-то там советском году. Скорее всего на теорему Бэра, как указано на сайте мехматовской библиотеки. Кстати, решение может быть в том задачнике, по крайней мере, указание на него.

manggol

Это не юмор, это просто пустая трата времени, разбирать такие безыдейные решения.
я поясню в чем дело - я эту задачу периодически встречаю где то с третьего курса. сам решить пробовал и забивал, а когда спрашивал решение у кого-нить, то в ответ получал - " ну, там как то по теореме Бэра".

manggol

Но задача верная, так что решай смело.
вот прикинь, не могу. это и раздражает)

raccoon

пусть у тебя этих точек на отрезке н.
попробуй доказать, что это сплайн, а сплайн - поллимон.

manggol

пусть у тебя этих точек на отрезке н.
не совсем понял что ты имеешь ввиду, каких таких " этих" точек

raccoon

я условие неправильно прочитал

lena1978

мне стало интересно, как у него в конце пересечение обязательно непустое получилось?

manggol

Он там выбрасывает из R обьединение замкнутых множеств M_p и говорит - это открытое множество.
У меня вопрос - с хуя ли.

lena1978

ну да, это я уже увидел. а как в конце унего непустое множество ненулей получилось?

manggol

ну да, это я уже увидел
честно говоря, после этого я перестал читать. так что если и дальше есть ошибки, то я не в курсе..

lena1978

что-то я запутался,нахрена он вообще так пустоту множества N доказывает? в любой точке x_0 \in R функция совпадает с многочленом нулевой степени f(x_0)

manggol

что-то я запутался,нахрена он вообще так пустоту множества N доказывает
если чесно предлагаю то решение больше не обсуждать :D

lena1978

ок :grin:
этож дирик твоей бывшей аспы ;) :grin:

manggol

нет, это бывший дирик моей нынешней аспы. так что не страшно :grin:

manggol

щас кстате взял годовой! оплачиваемый! отпуск. Вот так вот там живут профессора ;)

manggol

че то мне кстати реально интересно стало) за первое верное решение задачи ( ссылку на верное решение из инета) предлагаю $20 ;)

lena1978

хочу тоже слинять. надо ботать езык

8888157

я на втором курсе ее решал и решил.

manggol

ну напиши решение, получишь 20 баксов.

lenmas

Вот правильное решение из задачника, который я выше упоминал.
Привожу дословно.
3.83. Пусть f - бесконечно дифференцируемая функция на отрезке I=[0,1], обладающая следующим свойством: для каждого x из I существует такое n=n(x что f^(nx)=0. Доказать следующую цепочку утверждений, последнее из которых означает, что f - полином. Положим
[math]  $$  E_n=\{x\in I: f^{(n)}(x)=0\}.  $$  [/math]
Пусть S - совокупность таких точек x, что для каждой окрестности V точки x и каждого n существует такая точка
[math]  $$  \xi\in V  $$  [/math]
и такое k>n, что
[math]  $$  f^{(k)}(\xi)\ne0.  $$  [/math]
а) S замкнуто и не совпадает с I.
б) Если S=0, то f - полином.
в) Если S конечно, то на самом деле S=0.
г) S не имеет изолированных точек.
д) int(S)=0.
е) Пусть
[math]  $$  I\setminus S=\cup\Delta_i  $$  [/math]
- представление в виде объединения непересекающихся промежутков. Тогда
[math]  $$  f\bigr|_{\Delta_i}  $$  [/math]
- полином.
ж) Пусть
[math]  $$  \nu_i=\mathrm{deg} f\bigr|_{\Delta_i}.  $$  [/math]
Если S содержится в E_n, то
[math]  $$  \nu_i\leqslant n  $$  [/math]
(заметим, что если x лежит в интервале [math]$\Delta_i$[/math], то
[math]  $$  f^{(\nu_i)}(x)=c\ne0)  $$  [/math]
з) Если S не пусто, то хотя бы при одном n пересечение S c E_n не будет нигде не плотным в S.
и) S=0.
к) f - полином.

manggol

спасибо, щас почитаю

manggol

можешь доказать утверждение ж) в случае, для простоты, когда n=0.

manggol

можешь доказать утверждение ж) в случае, для простоты, когда n=0.
переформулирую для удобства восприятия, что на самом деле представляет из себя утверждение ж) в данном случае:
есть гладкая функция, которая в каждом интервале на дополнении к множеству своих нулей является полиномом. Доказать что это полином.

griz_a

Оно бы так переформулировалось бы, если бы было I\E_0, а не I\S. Поскольку тут S не обязательно совпадает с E_0, то это не то же самое

manggol

Оно бы так переформулировалось бы, если бы было I\E_0, а не I\S. Поскольку тут S не обязательно совпадает с E_0, то это не то же самое
соглашусь. но ИДЕЙНО - именно то, что я написал, ни больше ни меньше.
Иными словами, решить ж) - не сложнее чем решить то, что я написал и наоборот :)

manggol

Итак, пока задача не решена. Жду еще мнений :)
Как тока увижу правильное решение без недоказанных утверждений (или ссылку на решение из инета)- сразу дам 20 баксов. Пустячок, а приятно :grin:

griz_a

ж)
Пусть есть интервал, где [math]$\nu_i>n$[/math]. Тогда берем один из его концов a, принадлежащих S. Из отсутствия изолированности существует последовательность точек из S, стремящихся к a. Но тогда из непрерывности производной [math]$f^{(n+1)}(a)=0$[/math]
Теперь можно заметить, что из-за неизолированности в каждой другой точке [math]$\forall \delta \exists x:|x-a|<\delta, f^{(n+1)}(x)=0$[/math], т.е [math]$f^{(n+2)} (a)=0$[/math]
Значит и [math]$f^{(\nu_i)}(a)=0$[/math], однако предел по интервалу этой производной нулю не равен, значит имеем разрыв производной

manggol

вообще звучит убедительно. ты в общаге живешь? пеши в приват номер комнаты, в среду буду в Москве, занесу 20 баксов ;)

Nefertyty

Я, наверное, тупой, но уже пункт а не очевиден. Почему S не совпадает с I? :o

griz_a

а где это используется?

lenmas

Я, наверное, тупой, но уже пункт а не очевиден. Почему S не совпадает с I?
Из соображений компактности. Дополнение к S - множество тех точек, у которых в некоторой окрестности все производные, начиная с некоторой, равны нулю. Покрой I такими окрестностями и выбери по компактности конечное подпокрытие. Ну, в общем, надеюсь, понятно.
P.S. Чего-то я туплю! :grin: Это доказывает, что если S пустое, то f - полином. Почему S не равно I, что-то непонятно. Видимо и тут теорему Бэра придется использовать, чтобы доказать, что существует интервал, где какая-то производная обращается тождественно в нуль. :crazy:

manggol

Видимо и тут теорему Бэра придется использовать, чтобы доказать, что существует интервал, где какая-то производная обращается тождественно в нуль.

именно так и есть.причем ты по сути своим сообщением это и доказал :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: