Задачки по ТЧ

62408

Помогите решить задачи по ТЧ:
1) 6/(pi*pi)=<Phi(n)*sigma(n)/(n*n)=<1
Phi(n) - функция Эйлера, sigma(n)=сумма всех делителей числа n
2) Phi(n) >= c*n/lnln(n) , c>0

Katty-e

Ну как, решил ?

dushistik

кто-то решил 2-ую?
и еще может у кого были такие задачи:
1. сумма по (n <= x) от тао^2(n) чему эквивалентна, если х --> бесконечности
2. сумма по (n <= x) от фи(n)/n ~ ? при х --> бесконечности
3. n| фи(p^n - 1) д-ть
могу дать решение других задач (которые есть у нас)

margo11

Решение задачки n | фи(p^n - 1). Обозначим m = p^n - 1. Пусть d - порядок p по модулю m, т.е. минимальное такое число, что p^d = 1(mod m).
Знаем, что d | фи(m). Кроме того, p^n = 1 (mod m) => d | n. Пусть d < n. Тогда получим, что p^d - 1 делится на m = p^n - 1, что невозможно. Значит, d = n => n | фи(m).

dushistik

спасибо огромное

Sanych

Вторую можно решать исходя из уточнённой оценки для k-го простого числа, фактически достаточно даже того, что начиная с некоторого места p_k>k ln(k)
Тогда всё получается. А как без этого обходиться я не придумал,
к сожалению

Sanych

В смысле вторую в первом сообщении.
А из второго - это довольно часто встречающаяся задача.
Решение у неё такое:
Сначала мы раскладываем каждое \phi(n)/n
в сумму слагаемых вида \mu(d)/d
Далее замечаем, что слагаемое \mu(d)/d
встречается для n=d,2d,3d ...kd
где k=[x/d]
Значит наша сумма может быть переписана как
\sum_{d<=x} \mu(d)/d * [x/d]
Далее раскладываем ее в разность
\sum_{d<=x} \mu(d)/d * x/d
и суммы с дробными частями, которая оценивается как
\sum_{n\le x} 1/n <ln x+c
Далее из \sum_{d<=x} \mu(d)/d * x/d можно вынести x,
и тогда у нее будет предел, равный M=\sum_d \mu(d)/d^2
Но эта сумма уже раскладывается в бесконечное произведение по простым от выражений (1-1/p^2)
а значит если обратить M, то получим произведение, которое есть \dzeta(2 или проще говоря сумма обратных квадратов, равная pi^2/6.
Таким образом,
\sum_{n\le x}\phi(n)/n ~ xM=6x/pi^2
\le <=
_ индекс
^ степень
Мне просто интересно, способен ли я написать решение, не перегруженное подробностями, но ясное непосвящённому -- то есть, которое не надо объяснять человеку, всего лишь знающему определения. Поэтому пищу ещё вариант.

dushistik

супер, большое спасибо
знаешь, ты оч понятно написал
даже не представляешь, как ты нам помог

dushistik

кстати, в 1-ой задаче тоа(n) - это сумма всех делителей числа n, забыла написать
ой, опечатка вообщем 1-ая задача выглядит так:
1. сумма по (n <= x) от тао^2(n)/n чему эквивалентна при х --> к бесконечночти
никто не знает как ее решать или что-то похожее может у кого-нибудь было?
и еще раз всем спасибо, кто откликнулся

dushistik

есть ли какая-нибудь зависимость между тао и фи? может получится свести 1-ую ко 2-ой в моем посте

lesfly

Может знает кто-нибудь как решить задачку:
Сумма по (n <= x) от тау(n)/n чему эквивалентна при х --> к бесконечности
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: